理解错排公式

Posted 2020-08-21

n个信封n封信，全部装错，有多少种可能的错误方式？

在该例中，用数列F[n]，表示n个信封时的错误方式数量，易得出F(1)=0，F(2)=1。所以应尝试用递推去解决。

当n个信封n封信全部装错的时候，假设第n号信封中装的是k号信，然后在剩下n-1封信中找到装有n号信封对应的n号信的m号信封，这里的m号信封有(n-1)种可能，将n号信封中的k号信和m号信封中的n号信交换，则n号信封中装的是n号信，m号信封装的是k号信，k号信有两种情况，一种是k等于m，即m号信封装的是m号信，这种情况下，m号信封和n号信封都装的是对应的信，所以此时有F(n-2)种错误可能（除了n和m别的都装错）。第二种情况是k不等于m，此时有F(n-1)种错误可能（除了n以外所有信封都装错）。

所以我们得出错排公式：F(n)=(n-1)(F(n-1)+F(n-2))。