n阶行列式

Posted 2020-08-20

1、首先，在学习n阶行列式定义前，我们先介绍一下排列、逆序数及对换的概念：

(1)排列定义：由 1，2，…，n 组成的一个有序数组称为一个 n 级排列（也叫做这 n 个元素的一个全          排列）。

        例子：所有的 3 级排列：

        123     132     213     231     312     321

  排列的分类：分为奇排列和偶排列；逆序数是奇数的排列称为奇排列；逆序数是偶数或 0 的排列            称为偶排列

(2)逆序数的定义：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小次序相反，即前面的数比后面的数大，            就称它们构成一个逆序。一个排列中所有逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

  逆序数的求解方法：在一个 n 级排列中，依次考虑每个数后面比它小的数有几个，再求和；公式如               下：

  

       例子：求 3 5 4 2 1 的逆序数。

       解：3 之后比 3 小的有 2 个，5 之后比 5 小的有 3 个，4 之后比 4 小的有 2 个，2 之           后比 2 小的有 1 个，于是逆序数为t=2+3+2+1=8;

(3)对换定义： 3 之后比 3 小的有 2 个，5 之后比 5 小的有 3 个，4 之后比 4 小的有 2 个，2 之          后比 2 小的有 1 个，于是逆序数为

(4)这有几个重要的结论和定理：

                   a、n 级排列一共有 n! 个。而在 n 级排列中，1 2 3 … n 这个排列                      具有自然顺序，称为一个自然排列或标准排列。  

                   b、任何一个排列经过一次对换，排列改变奇偶性。即奇排列经过一次                      对换变成偶排列，偶排列经过一次对换变成奇排列。 

                   c、任何一个排列经过一次对换，排列改变奇偶性。即奇排列经过一次                      对换变成偶排列，偶排列经过一次对换变成奇排列。 

                   d、任何一个排列经过一次对换，排列改变奇偶性。即奇排列经过一次                      对换变成偶排列，偶排列经过一次对换变成奇排列。 

2、n阶行列式的定义：

首先，由前面二、三阶行列式，从中我们观察并得出以下说明（在这以3阶行列式为例）：

a、三阶行列式共有 6 项，即 3! 项 

b、每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积

c、每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列

得出n阶行列式的定义：由n*n个数组成的n阶行列式等于所有取自于不同行不同列n个元素的乘积的代数               和，写成公式为，

             

              

              其中，p1,p2,p3......pn为自然数1,2,3......n的一个排列，t为这个排列的逆               序数 

                                      该行列式记作：    

               

对此定义的说明：

1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的；

2、n 阶行列式是 n! 项的代数和；

3、n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 n 个元素的乘积；

4、n阶行列式所有取自于不同行不同列n个元素的乘积的代数，前面的符号取决于(-1)^t

5、 一阶行列式 | a | = a 不要与绝对值相混淆；

n阶行列式的另一种定义：

如下图所示：

其中 t 为行标排列 p1 p2 … pn 的逆序数

3、几个特殊的行列式：

(1)计算对角的行列式：

 

(2)上（下）三角行列式：

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