无向图的割顶和桥

Posted 2020-08-19 树的种子

割顶：　　关键点，删掉这个点后，图的连通分量 + 1；

桥：　　　在割顶的基础上，发现删除 (u,v) 这条边，图就变成非连通的了。

如何找出所有割顶和桥：

 

时间戳：　　在无向图的基础上，DFS建树的过程中，各点进栈和出栈的时间 dfs_clock，进栈的时间 pre[]，出栈的时间 post[]

在DFS程序中的体现就是： 

void previst(int u) {　　pre[u]= ++dfs_clock;　　}

void postvist(int u) {　　post[u] = ++dfs_clock;　　}

 

如何求割顶和桥　(定理)：

通过无向图建DFS森林后，每个点 u 是割顶的充要条件 ：  u 存在一个子节点 v ，使得 v 或者其子孙结点 没有一条返回边到 u 的祖先。

 

实现：

low(u) : u 及其 子孙结点能返回的 最早的祖先的 pre 值，那么定理就可以写成 low(v) >=pre[u];

特殊情况：当 v 的 后代 只能连回自己，即 low(v) > pre[u] 时，删掉这条边 (u,v) 就变成非连通的了，这条边就是 桥.

 

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MaxNode = 1000;


int pre[MaxNode<<1];
int post[MaxNode<<1];
vector <int> G[MaxNode];


int iscut[MaxNode];
int low[MaxNode];
int dfs_clock;

int dfs(int u,int fa) {
    int lowu = pre[u] =  ++dfs_clock;

    int child = 0;
    for(int i=0;i<G[u].size();i++) {
        int v = G[u][i];
        if(!pre[v]) {
            child ++;
            int lowv = dfs(v,u);
            if(lowv>=pre[u]) {
                iscut[u] = true;
            }

        }
        else if(pre[v]<pre[u]&&v!=fa) {
            lowu = min(lowu,pre[v]);
        }
    }

    if(fa<0&&child==1) iscut[u] = 0;
    low[u] = lowu;
    return lowu;
}

注意：

无向图的边会处理两次，而在 DFS 树中 可能访问已经访问过的结点，可以利用这个结点更新 low 函数，但是 这个结点一定不能是 u 的父亲.