无向图的割顶和桥的性质 以及双连通分量的求解算法

Posted 2020-08-31 kiraa

割顶：对于无向图G，如果删除某个点u后，连通分量的数目增加， 称u为图的割顶。对于连通图，割顶就是删除之后使图不再连通的点。

 

割顶的求解依如下定理：

　　在无向连通图G的DFS树中，非根结点u是G的割顶当且仅当u存在一个子节点v，使得v及其所有后代都没有反向边连回u的祖先（连回u）不算。

算法实现：

　　采用时间戳，在dfs遍历的过程中给每个节点u均标记以前序时间戳pre[u]，设low[u]为u及其后代所能连回的最早的祖先的pre值，则定理中的条件就可以简写成结点u存在一个子结点v，使得 low[v] >= pre[u] 。

　　作为一种特殊情况，如果v的后代只能连回v自己，即 low[v] > pre[u] ，只需要删除边(u, v) 就可以让G非连通了，满足这个条件的边称为桥。换句话说，我们不仅知道结点u是割顶，还知道了(u, v)是桥。

 

双连通分量：

　　对于一个连通图，如果任意两点至少存在两条点不重复的路径，则说这个图是点-双连通的。即任意两条边都在同一个简单环内。

　　如果任意两点至少存在两条边不重复的路径，则说这个图是边-双连通的。即每条边都至少在一个简单环中。

　　对于一张无向图，点-双连通的极大子图称为双连通分量（BCC）。

 

性质：

　　1.每条边恰好属于一个双连通分量。

　　2.不同双连通分量最多只有一个公共点，且它一定是割顶。

　　3.任意割顶都是至少两个不同双连通分量的公共点。

　　4.桥不属于任何边-双连通分量，除了桥的每条边恰好属于一个边-双连通分量。

 

计算点-双连通分量的算法：

 1 int n;
 2 int pre[maxn], bccno[maxn], iscut[maxn], dfs_clock, bcc_cnt;
 3 vector<int> G[maxn], bcc[maxn];
 4 
 5 struct Edge{
 6     int u, v;
 7     Edge(int uu, int vv): u(uu), v(vv) {}
 8 };
 9 
10 stack<Edge> S;
11 
12 int dfs(int u, int fa) {
13     int lowu = pre[u] = ++dfs_clock;  //时间戳
14     int child = 0;　　　　　　　　　　　　//子结点数目
15     for(int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
16         int v = G[u][i];
17         Edge e = Edge(u, v);
18         if(!pre[v]) {　　　　　　　　　　//没有访问过v
19             child++;
20             S.push(e);
21             int lowv = dfs(v, u);
22             lowu = min(lowu, lowv);
23             if(lowv >= pre[u]) {
24                 iscut[u] = 1;
25                 bcc[++bcc_cnt].clear();
26                 for(;;) {
27                     Edge x = S.top(); S.pop();
28                     if(bccno[x.u] != bcc_cnt) {bcc[bcc_cnt].push_back(x.u); bccno[x.u] = bcc_cnt;}
29                     if(bccno[x.v] != bcc_cnt) {bcc[bcc_cnt].push_back(x.v); bccno[x.v] = bcc_cnt;}
30                     if(x.u == u && x.v == v) break;
31                 }
32             }
33         }
34         else if(pre[v] < pre[u] && v != fa) {
35             child++;
36             S.push(e);
37             lowu = min(lowu, pre[v]);
38         }
39     }
40     if(fa < 0 && child == 1) iscut[u] = 0;
41     return lowu;
42 }
43 
44 void find_bcc() {
45     memset(pre, 0, sizeof pre);
46     memset(bccno, 0, sizeof bccno);
47     memset(iscut, 0, sizeof iscut);
48     dfs_clock = bcc_cnt = 0;
49     for(int u = 0; u < n; u++) if(pre[u] == 0) dfs(u, -1);
50 }