Tarjan算法学习笔记

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了Tarjan算法学习笔记相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

一种由Robert Tarjan提出的求解有向图强连通分量的线性时间的算法。

[有向图强连通分量]

在有向图G中,如果两个顶点间至少存在一条路径,称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。

下图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

 

直接根据定义,用双向遍历取交集的方法求强连通分量,时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法,两者的时间复杂度都是O(N+M)。

本文介绍的是Tarjan算法。

[Tarjan算法]

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳),Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出,

Low(u)=Min

{

    DFN(u),

    Low(v),(u,v)为树枝边,u为v的父节点

    DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)

}

当DFN(u)=Low(u)时,以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

算法伪代码如下

tarjan(u)

{

    DFN[u]=Low[u]=++Index       // 为节点u设定次序编号和Low初值

    Stack.push(u)                 // 将节点u压入栈中

    for each (u, v) in E             // 枚举每一条边

        if (v is not visted)          // 如果节点v未被访问过

            tarjan(v)                  // 继续向下找

            Low[u] = min(Low[u], Low[v])

        else if (v in S)                   // 如果节点v还在栈内

            Low[u] = min(Low[u], DFN[v])

    if (DFN[u] == Low[u])                      // 如果节点u是强连通分量的根

        repeat

            v = S.pop                  // 将v退栈,为该强连通分量中一个顶点

            print v

        until (u== v)

}

接下来是对算法流程的演示。

从节点1开始DFS,把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时,DFN[6]=LOW[6],找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止,{6}为一个强连通分量。

 

返回节点5,发现DFN[5]=LOW[5],退栈后{5}为一个强连通分量。

 

返回节点3,继续搜索到节点4,把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边,节点1还在栈中,所以LOW[4]=1。节点6已经出栈,(4,6)是横叉边,返回3,(3,4)为树枝边,所以LOW[3]=LOW[4]=1。

 

继续回到节点1,最后访问节点2。访问边(2,4),4还在栈中,所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后,发现DFN[1]=LOW[1],把栈中节点全部取出,组成一个连通分量{1,3,4,2}。

 

至此,算法结束。经过该算法,求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以发现,运行Tarjan算法的过程中,每个顶点都被访问了一次,且只进出了一次堆栈,每条边也只被访问了一次,所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

以上是关于Tarjan算法学习笔记的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

笔记:Tarjan算法 求解有向图强连通分量的线性时间的算法

笔记:LCA最近公共祖先 Tarjan(离线)算法

算法笔记_144:有向图强连通分量的Tarjan算法(Java)

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