51nod 1616 最小集合

Posted 2020-08-19

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题

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A君有一个集合。

这个集合有个神奇的性质。

若X,Y属于该集合，那么X与Y的最大公因数也属于该集合。

但是他忘了这个集合中原先有哪些数字。

不过幸运的是，他记起了其中n个数字。

当然，或许会因为过度紧张，他记起来的数字可能会重复。

他想还原原先的集合。

他知道这是不可能的……

现在他想知道的是，原先这个集合中至少存在多少数。

样例解释：

该集合中一定存在的是{1,2,3,4,6}

Input

第一行一个数n(1<=n<=100000)。
第二行n个数，ai(1<=ai<=1000000，1<=i<=n)。表示A君记起来的数字。
输入的数字可能重复。

Output

输出一行表示至少存在多少种不同的数字。

Input示例

5
1 3 4 6 6

Output示例

5

分析：
性质1：该集合中一定存在输入的数字中若干数的最大公因数。
这个证明比较简单，例如我们有 a1, a2, ..., an 这些数，那么 gcd(a1,a2) 一定存在该集合，然后 gcd(a1,a2,a3) 也一定存在该集合，依次类推。
所以我们对于每个数i，都求出在n个数中有多少数是它的倍数,记为 f(i) 。
然后观察 f(2× i), f(3× i), .., f(x× i), ... 中是否存在一个数等于 f(i) ，若不存在，则i一定存在于该集合。
总复杂度为 maxni=1 ai× lg(maxni=1 ai) 
代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
int read(int &n)
{
char ch=‘ ‘;int q=0,w=1;
for(;(ch!=‘-‘)&&((ch<‘0‘)||(ch>‘9‘));ch=getchar());
if(ch==‘-‘)w=-1,ch=getchar();
for(;ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘;ch=getchar())q=q*10+ch-48;n=q*w;return n;
}
int m,n,ans;
bool a[1000006];
int gcd(int x,int y){return y?gcd(y,x%y):x;}
int main()
{
int q,w=0;
read(n);
fo(i,1,n)a[read(q)]=1,m=max(m,q),w=gcd(q,w);
if(w==1)ans=1;
fo(i,2,m)
{
q=w=0;
fo(j,1,m/i)if(a[j*i])q=gcd(j,q),w++;
if((q==1&&w-1)||a[i])ans++;
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}