UVA 11582 Colossal Fibonacci Numbers! 大斐波那契数

Posted 2020-08-19 Pacify

大致题意：输入两个非负整数a,b和正整数n。计算f(a^b)%n。其中f[0]=f[1]=1, f[i+2]=f[i+1]+f[i]. 即计算大斐波那契数再取模。

一开始看到大斐波那契数，就想到了矩阵快速幂，输出等了几秒钟才输出完，肯定会超时。因为所有计算都是要取模的，设F[i]=f[i] mod n。F[0]=F[1]=1。只要出现F[i]=F[i+1]=1，那么整个序列就会重复。例如n=3，则序列为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1……第九项和第十项都等于1，所以之后的序列都会重复。

至于多久会重复一次，这个没法直接看出来。我的程序是一直判断下去知道有相邻地两个1，这样有点冒险，不过没有超时。后来看了下刘汝佳的书，书上这样说的：因为余数最多n种，所以最多n²项就会重复。这是一个结论吗，我没看懂，先记着吧。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;

const int maxn=1000000+5;
typedef unsigned long long ull;
int modnum[maxn];
int Mod;

int powermod(ull a,ull b,int c)
{
    ull ans=1;
    a%=c;
    while(b)
    {
        if(b&1)
           ans=ans*a%c;
        a=a*a%c;
        b=b>>1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int t;
    ull a,b;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%llu%llu%d",&a,&b,&Mod);
        if(Mod==1 || a==0)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        modnum[0]=modnum[1]=1;
        int p=1;
        for(int i=2;;i++)
        {
            modnum[i]=(modnum[i-1]+modnum[i-2])%Mod;
            if(modnum[i]==1 && modnum[i-1]==1)
            {
                p=i-1;
                break;
            }
        }
        printf("%d\n",modnum[powermod(a,b,p)-1]);
    }
    return 0;
}