uva 11082Matrix Decompressing（图论--网络流最大流 Dinic+拆点二分图匹配）

Posted 2020-08-19 konjac蒟蒻

题意：有一个N行M列的正整数矩阵，输入N个前1~N行所有元素之和，以及M个前1~M列所有元素之和。要求找一个满足这些条件，并且矩阵中的元素都是1~20之间的正整数的矩阵。输入保证有解，而且1≤N,M≤20。

解法：这题的图转换得极妙！(*^▽^*)   我们可以发现找到的矩阵需要满足3个条件：1.N行M列；2.各行各列的和；3.各元素的大小。再仔细阅读一次题目，发现题目中提到的2个数字相同——“20”，再想想这是不是有什么玄机。
     首先可以找到第3个条件的转化，可以用容量来限制，那么这题用网络流可以吗？如果用网络流，那对于元素大小限制就建边为容量19的，因为要求为1~20，而又有流量为0，于是我们就把“流量+1”当成 元素的大小。而第1个条件可以直接转化为 n+m 个点表示各行、列，那么第2个条件也是可以通过与源点和汇点连边处理得到的，也就是我们后面博文会提到的“多源多汇问题”。把源点连边到前 n 个点，边容量就是1~n行的元素之和 再-m，因为前面我们已经把各元素的大小转化为“流量+1”了，那么流量就是“大小-1”，每行有m个元素就是 -m 了。同理，把 n+1~n+m 的元素与汇点相连，边容量是1~M列的元素之和 -N。对于各行各列的和的具体分配就是看这 1~n 与 n+1~n+m 的点之间的边流量了，第 i 行第 j 列的元素大小就是点 i 到点 n+j 的边的反向弧的流量+1.
      成功建图之后，就跑一遍Dinic再求出矩阵就好了。?(＾∀＾●)?

  1 #include<cstdio>
  2 #include<cstdlib>
  3 #include<cstring>
  4 #include<queue>
  5 #include<iostream>
  6 #include<algorithm>
  7 using namespace std;
  8 
  9 const int N=25,NN=75,INF=(int)1e9;
 10 int st,ed,n,m,len;
 11 int last[NN],d[NN],num[N][N];
 12 struct edge{int x,y,next,fl;}a[N*N*2];
 13 queue <int> q;
 14 
 15 int mmin(int x,int y) {return x<y?x:y;}
 16 void ins(int x,int y,int fl)
 17 {
 18     a[++len].x=x,a[len].y=y,a[len].fl=fl;
 19     a[len].next=last[x],last[x]=len;
 20     a[++len].x=y,a[len].y=x,a[len].fl=0;
 21     a[len].next=last[y],last[y]=len;
 22 }
 23 bool bfs()
 24 {
 25     while (!q.empty()) q.pop();
 26     memset(d,0,sizeof(d));
 27     q.push(st), d[st]=1;
 28     while (!q.empty())
 29     {
 30       int x=q.front(); q.pop();
 31       for (int i=last[x];i;i=a[i].next)
 32       {
 33         int y=a[i].y;
 34         if (d[y]||(!a[i].fl)) continue;
 35         q.push(y);
 36         d[y]=d[x]+1;
 37       }
 38     }
 39     return d[ed];
 40 }
 41 int dfs(int x,int flow)
 42 {
 43     if (x==ed) return flow;
 44     int sum=0;
 45     for (int i=last[x];i;i=a[i].next)
 46     {
 47       int y=a[i].y;
 48       if (d[y]!=d[x]+1||(!a[i].fl)) continue;
 49       int t=dfs(y,mmin(flow-sum, a[i].fl));
 50       sum+=t;
 51       a[i].fl-=t,a[i^1].fl+=t;
 52       if (sum==flow) break;
 53     }
 54     if (!sum) d[x]=0;
 55     return sum;
 56 }
 57 void Dinic()
 58 {
 59     int sum=0;
 60     while (bfs()) sum+=dfs(st,INF);
 61     /*for (int i=1;i<=n;i++)
 62     {
 63       int x=i;
 64       for (int k=last[x];k;k=a[k].next)
 65       {
 66         int y=a[k].y;
 67         if (!(y>n&&y<=n+m)) continue;
 68         mat[x][y]=a[k^1].fl+1;
 69       }
 70     }*/
 71 }
 72 int main()
 73 {
 74     int T;
 75     scanf("%d",&T);
 76     for (int kase=1;kase<=T;kase++)
 77     {
 78       scanf("%d%d",&n,&m);
 79       int x,y; st=n+m+1,ed=n+m+2;
 80       len=1,y=0;
 81       memset(last,0,sizeof(last));
 82       for (int i=1;i<=n;i++)
 83       {
 84         scanf("%d",&x);
 85         ins(st,i,x-y-m);//m
 86         y=x;
 87       }
 88       y=0;
 89       for (int i=1;i<=m;i++)
 90       {
 91         scanf("%d",&x);
 92         ins(n+i,ed,x-y-n);//n
 93         y=x;
 94       }
 95       for (int i=1;i<=n;i++)
 96         for (int j=1;j<=m;j++)
 97         {
 98           ins(i,n+j,19);
 99           num[i][j]=len;
100           //printf("%d %d %d %d\n",i,j,a[num[i][j]].x,a[num[i][j]].y);
101         }
102       Dinic();
103       printf("Matrix %d\n",kase);
104       for (int i=1;i<=n;i++)
105       {
106         for (int j=1;j<=m;j++)
107           printf("%d ",a[num[i][j]].fl+1);
108         printf("\n");
109       }
110       if (kase<T) printf("\n");
111     }
112     return 0;
113 }