数制

Posted 2020-08-17

数制

　　本来已经写好了很久了，没想到恢复智障了，搞到现在。这里也记录一下我当时的感受吧。一个大早上就这么废掉了。也就是花了一个早上和一个晚上的时间才整理出这些鬼东西。　

关于数值，这里不进行记录什么二进制、十进制之类的基本概念，只介绍一些主要的知识点。

　　1、数制之间的转换

（1）关于二进制的一些概念

这里主要记录一下位、比特对于二进制的描述。这些东西描述起来也很麻烦，可能是我还没有掌握吧。

位宽/比特：一个二进制数，有它的位宽，有多少个0/1，它位宽就是多少；比如二进制数10110，它的位宽就是5，从第0位到第5位；也说这是一个5位宽的二进制数，这是个二进制数大小是5比特。

最高位和最低位：对于上面的10110，最高位是1，最低位是0；最高位是第4位，最低位是0

（2）二进制转换成十进制：

①二进制转换成十进制方法为：把二进制数按权展开、相加即得十进制数。

②举例：二进制数10011.01,位数为1的有第4位，第1位，第0位，第-2位，那么就有：

10011的十进制数值（注意说到数值，默认是转换为十进制时数的大小）为：2^4 + 2^1 + 2^0 + 2^(-2) = 19.25

十进制转换成二进制：

①转换方法就是：整数部分，除二取余；小数部分，乘二取整(小数部分一般会说明要精确到小数点多少位)。

②举例说明:将35.63转换成二进制数，小数部分精确到小数点后3位

那么对于整数部分，除二取余

 

 

整数部分的二进制数就是100011。

对于小数部分：乘二取整

0.63*2 = 1.26,取1;0.26*2 = 0.52，取0；0.52*2 = 1.04，取1；已经达到三位了。因此小数部分就是101

因此35.63的二进制表示为100011.101。

 

（3）二进制转换成八进制：

  ①方法：从小数点向两边展开，每三位二进制划分为一组，每一组的的十进制就是对应的八进制，（注意，最高位或者最低位不够3位要补0）。

  ②举例：1001.01转换成八进制，进行分组 （00）1 001 . 01(0),转换成八进制就是11.2。

八进制转换成二进制：

①八进制转换成二进制的方法跟二进制转换成八进制的方法相反，一位八进制对应三位的二进制，依次展开就可以。

②举例：八进制67.21转换成二进制，6是110,7是111，2是010,1是001；所以对应的二进制就是110111.010001。

（4）二进制转换成十六进制,十六进制转换成二进制：

二进制转换成十六进制/十六进制转换成二进制与八进制的类似，只不过是八进制对应的是3位，而十六进制对应的是4位；这里不再详述。

 

它们之间的转换都可以通过二进制进行。

 

 

　　2、二进制的有符号与无符号

（1）无符号数，也就是没有正负之分，默认为正值，上面说到的都是正数，也就是无符号数。对于二进制也是这样。

·一般情况下，没有专门支持这个数是有符号的，就默认是无符号的数。

·n位无符号可以表示的范围位0~+(2^n-1)，即0~1...1

（2）有符号数，顾名思义就是有正负之分，比如+39,-49。对于二进制数而言，也有有符号数之分。以后我记录的说到有符号数的，默认指有符号数的二进制数。

①在有符号的二进制数中，最高位表示符号位，其他位表示数的其他内容；其中符号位是1时，表示这个有符号的二进制数是负数；符号位是0时，表示这个有符号的二进制数是正数。

比如有符号数10010，最高位是1，表示这个二进制数是负数。（当然要注意下面要讲到的反码）

·从前面上述可以知道，一个有符号的二进制数，至少有两位，其中一位是符号位。

②有符号二进制数有三种表达方式：原码、反码、补码（十进制之类的也有补码之类的，这里仅仅记录与二进制有关的）。

③原码：最高位是符号位，除最高位后的二进制数，表示二进制数值的绝对值大小。

比如原码100110，最高位是1，表示负数；剩余是00110，表示的数值大小是6，那么这个原码表示的数值大小就是-6 。

·一般情况下，说到是有符号数，一般指的是原码。

·原码的0，可以表示为+0和-0,也就是1...0,0..0，因此有两种表达形式。

·n位原码表示的范围为：-（2^(n-1)-1)~+（2^(n-1)-1),即1...1~0...1

④反码：反码可以由原码出发得来，将原码的每一位都取反就得了对应的反码。

比如一个有符号数的原码是10011，那么这个有符号数的反码就是01100.

·反码在应用不多，也许是我还没有了解到吧，在此不详述，以后用到了再详述记录吧。

⑤补码：补码的应用就广泛了，计算机的内部运算就是用补码的。

补码也可以由原码得来：

对于正数：补码即为补码；

对于负数：原码的符号位不变，剩余位取反，然后整体加一就得到了补码。

比如：二进制的原码是10010，符号位1不变；剩余0010，取反得1101；整合为11101，加一得到11110.也就是原码是10010的补码为11110 。

·补码的0，假设有4位，那么对于-0，原码是1000，进行取反加一后，得到0000（假设位宽固定）；对于+0,补码也是0000；因此补码的0只有一种表达形式。

·n位补码表示的数值范围为：-2^(n-1)~+（2^(n-1)-1)

 

　　

　　3、二进制的加减运算与溢出现象

（1）二进制的加减运算

①对于一般的无符号运算，直接运算就好了，没什么可以说的。但是计算机内部，它是用补码运算的，这就就有可以记录的地方了，补码的加减运算对于其他的有符号数，就显得比较简单了。此外，减法也可以当成加法来，减一个数可以当成加这个数的负数。

②对于补码的加法运算有：补码 + 补码 = 补码。当然这个是有一定的条件的，下面举例探讨。

③例一：（+3） + （+4），结果显然是+7；用二进制补码进行运算，则是0011+0100，得到的结果是0111，很显然，0111是+7的补码。

例二：(-2) -6 = （-2）+ （-6），结果显然是-8；用二进制补码进行运算，则是1110 + 1010 ，得到11000，这个很显然也是-8的补码。

例三：+6 - 3 = （+6）+ （-3），结果显然是+3；用二进制补码进行运算，则是0110+1101，结果是10011,诶呀，这个很显然就不是+3的补码，但是，当我们去掉最高位后，只看低四位0011，这个很显然是+3的补码呀。

例四：+4-7 = （+4）+（-7），结果是显然是-3；用二进制补码进行运算，则是0100+1001，得到的结果是1101，这个结果很显然是-3的补码。

 

（2）溢出现象

  ①经过上面的四个例子，引入溢出这个概念：如果加法操作产生的几个超出了数制定义的范围，就说发生了溢出。两个异号数相加，肯定不会溢出；同号相加可能溢出。

②判断溢出的法则：如果加数的符号相同，而和的符号与加数符号不同，则有加法溢出。

③再谈前面的四个例子：

一般而言，对于位宽固定的情况下，

例一相加，得到的是4位，没有溢出，结果也正确。

例二，虽然得到的结果正确，但是得到的结果是5位的，如果截去最高位，那么得到结果将是错误的，也就是有溢出产生。这里也提醒我们，对于同号相加，要加多一位，其实也就是加多一个符号位。

例三结果虽然是不正确的，但是这是5位的结果，我们截去最高位，这个结果是对的，因此这个没有溢出，也就是这个结果（四位）还是对的。

例四，没有溢出。