CH Round #30 摆花[矩阵乘法]

Posted 2020-08-15 Candy?

摆花 CH Round #30 - 清明欢乐赛

背景及描述

艺术馆门前将摆出许多花，一共有n个位置排成一排，每个位置可以摆花也可以不摆花。有些花如果摆在相邻的位置（隔着一个空的位置不算相邻），就不好看了。假定每种花数量无限，求摆花的方案数。

输入格式

输入有1+m行，第一行有两个用空格隔开的正整数n、m，m表示花的种类数。接下来的m行，每行有m个字符1或0,若第i行第j列为1，则表示第i种花和第j种花不能排在相邻的位置，输入保证对称。（提示：同一种花可能不能排在相邻位置）。

输出格式

输出只有一个整数，为方案数（这个数字可能很大，请输出方案数除以1000000007的余数）。

样例输入

2 2
01
10

样例输出

7

样例说明

七种方案为(空，空)、（空，1）、（1、空）、（2、空）、（空、2）、（1,1）、（2,2）。

数据范围与约定

• 20%的数据，1＜n≤5,0＜m≤10。
• 60%的数据，1＜n≤200,0＜m≤100。
• 100%的数据，1＜n≤1000000000，0＜m≤100。

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正解：

这样来看这个问题，我们先定义一种新的花:不摆花，然后我们把所有种类的

花看成一个点，在不互相冲突的种类之间连一条边，其中不摆花不和所有花冲突。我们要求 摆到n个位置，实际上可以认为是求这个图中长度为n的路径的条数，这样把问题转换成了 经典问题，可以运用矩阵乘法求解，得 100 分 

 

关于图中长度为n路径计数：

见图片

 

注意：本题必须边从0开始

//
//  main.cpp
//  ch30B
//
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//

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int M=105,MOD=1000000007;
typedef long long ll;
inline int read(){
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar();}
    while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+c-‘0‘;c=getchar();}
    return x*f;
}
int n,m;
char s[M];
struct mat{
    ll mt[M][M];
    mat(){memset(mt,0,sizeof(mt));}
}g,im;
mat mult(mat &x,mat &y){
    mat t;
    for(int i=0;i<=m;i++)
        for(int k=0;k<=m;k++) if(x.mt[i][k])
            for(int j=0;j<=m;j++)
                t.mt[i][j]=(t.mt[i][j]+x.mt[i][k]*y.mt[k][j]%MOD)%MOD;
    return t;
}
void dp(){
    for(int i=0;i<=m;i++)
            im.mt[i][i]=1;
    
    for(;n;n>>=1,g=mult(g,g))
        if(n&1) im=mult(im,g);
}
int main(int argc, const char * argv[]){
    //freopen("harem.in","r",stdin);
    //freopen("harem.out","w",stdout);
    
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%s",s+1);
        for(int j=1;j<=m;j++) g.mt[i][j]=(s[j]-‘0‘)^1;
    }
    for(int i=0;i<=m;i++) g.mt[i][0]=g.mt[0][i]=1;
    dp();
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<=m;i++) ans=(ans+im.mt[0][i])%MOD;
    printf("%lld",ans);
}