算法导论—矩阵链乘法(动态规划)

Posted 2022-11-25 之墨_

算法导论—矩阵链乘法(动态规划）

• 矩阵链乘法
• • 矩阵相乘
  • • 矩阵相乘的括号化方案
    • 不同计算代价
    • 应用动态规划方法的步骤
    • 按照步骤分析问题
    • 伪代码

矩阵链乘法

矩阵相乘

矩阵相乘的括号化方案

设有四个矩阵$A、B、C、D$，它们的维数分别是：
$$A=50\ast 10、B=10\ast 40、C=40\ast 30、D=30\ast 5$$总共有五种完全加括号的方式，如下：
$$\begin{gathered} (A((BC)D))、(A(B(CD)))、 \\ ((AB)(CD))、(((AB)C)D)、((A(BC))D). \end{gathered}$$

不同计算代价

应用动态规划方法的步骤

1. 刻划一个最优解的结构特征；
2. 递归地定义最优解的值；
3. 计算最优解的值，通常采用自底向上的方法；
4. 利用计算出的信息构造一个最优解。

按照步骤分析问题

步骤$1$：最优括号化方案的结构特征
我们用符号$Ai\cdot j(i<=j)$表示$AiAi+1\cdot \cdot \cdot Aj$乘积的结果矩阵，如果问题是非凡的，即$i<j$，那么为了对$AiAi+1\cdot \cdot \cdot Aj$进行括号化，我们就必须在某个$Ak$ 和$Ak+1$之间将矩阵链划分开($k$为$i\le k<j$之间的整数)，也就是说我们首先计算矩阵$Ai\cdot \cdot \cdot k$和$Ak+1\cdot \cdot \cdot j$，然后再计算他们的乘积得到最终结果$Ai\cdot \cdot \cdot j$。现在问题就变成了对矩阵$Ai\cdot \cdot \cdot k$和$Ak+1\cdot \cdot \cdot j$进行独立求解，并且要满足最优括号化方案，最后将子问题的最优解合并就可以得到问题的最优解。

步骤$2$：一个递归求解方案
令$m[i,j]$表示计算矩阵$Ai\cdot \cdot \cdot j$数乘次数的最小值，那么原问题的最优解——计算$A_{1\cdot \cdot \cdot n}$所需的最低代价就是$m[1,n]$。$i=j$时不需要做任何标量乘法运算，所以$m[i,i]=0$。若$i<j$，利用步骤$1$中得到的最优子结构来计算$m[i,j]$。设矩阵Ai···j 的大小为pi-1×pi ，那么$A_{i\cdot \cdot \cdot k}$和$A_{k+1\cdot \cdot \cdot j}$相乘的代价为$p_{i-1}\ast p_k\ast p_j$。因此可得.
$$m[i,j]=m[i,k]+m[k+1,j]+p_{i-1}{p}_k{p}_j.$$
此递归公式假定最优分割点$k$是已知的，但实际上我们并不知道。不过，$k$只有$j-i$种可能的取值，即$k=i，i+1，\cdot \cdot \cdot ，j-1$.由于最优分割点必其中，我们只需要检查所有可能的情况，推到最优者即可。因此，$A_i{A}_{i+1}\cdot \cdot \cdot A_j$ 最小代价括号化方案的递归求解公式变为

伪代码

MATRIX-CHAIN-ORDER(p)
    n=p.length-1
    let m[1..n][1..n] and s[1..n-1][2..n] be new tables
    for i=1 to n
        m[i][i]=0 // 也就是把二维数组m中主对角线元素置为0
    for l=2 to n   // l is the chain lenth(即 2个矩阵相乘，3个相乘，...n个相乘)
        for i=1 to n-l+1 // 控制行的变换，可以把数组m在纸上画出来，发现i是控制对角线上的行变换。
            j=i+l-1 //即j=i+(l-1)， 本来主对角线上是j=i的，但是，当矩阵链为l时，列(即j）右移（l-1）位，所以j=i+(l-1)，也就是控制列的变化
            m[i][j]=∞
            for k=i to j-1
                q=m[i] [k]+m[k+1] [j]+p[i-1]p[k]p[j]
                if q< m[i][j]
                    m[i][j]=q
                    s[i][j]=k
    return m and s