B树（多路平衡查找树）

Posted 2023-03-14

参考技术A

①二叉排序树的结点值满足：左子树<根<右子树，当中序遍历时，可得到有序序列，如下图

②5叉排序树如下图

观察到，5叉树中每个节点的分支最多可有5个，每个结点的关键字最多可有4个（有序），最后一层为查找失败的情况

如要查找9，首先和根结点22比较，发现比22小，到左子树中查找；依次和5 ，11比较，找到第一个大于9的关键字，到其左指针指向的子树中查找；依次和6，8，9比较，最终查找到9

如果每个结点中只包含一个关键字，则5叉排序树就退化为了二叉排序树，在关键字的数量相同时，树会变高。而由查找的过程可知，树越高，查找效率越低。

为保证m叉排序树的查找效率，因此这里给出一个策略，即让结点数包含的关键字尽可能多，从而降低树的高度

加此约束后，其实树依然有很高的情况，如下图

原因很显然，就是不平衡

现追加约束，即在满足每个结点的分支数为m/2向上取整的同时，也满足绝对平衡（左右子树高度相同），称这样的树为B树（可为空）

思路：

高度最大时，即要满足每个结点分支最少（关键字最少），根据约束可知为m/2向上取整（设为k），即第一层1个结点，第二层2个结点，第三层2 k个结点，第h层2 k ^{(h-2)，第h+1层2*k} (h-1)。事实上，第h+1层为失败结点，n个关键字的失败结点有n+1个（n个关键字把（-∞，+∞）拆分为n+1个区间，就对应n+1个失败情况），所以n+1>=2*k^(h-1)，得h<=log(k)[(n+1)/2] + 1

高度最小时，即要满足每个结点分支最多（关键字最多），为m，h层总结点数为k=（1+m+m ^2+……+m (h-1)）,则关键字总数为m k，应满足m k >= n，得到h>=log(m)(n+1)

插入
①一定是插入到最下面一层
②结点容量不够时，以中间为准拆分，提中间关键字到父结点（位置为指针右边）

删除
①对终端结点的删除
满足关键数约束（5阶时，即要求至少有2个关键字）时，直接删除

删除后不满足约束时，先看左右兄弟是否够借，以右兄弟够借为例，分别用后继，后继的后继填补
如删除38（49代替38，70代替49）

不够借时，将该结点，其兄弟结点，两结点中间的关键字，三者合并。如删除49

②对非终端结点的删除：使用前驱（左子树最右下）或后继（右子树最左下）代替
如删除根结点80

另外，也可以用82代替