快速模取幂

Posted 2020-08-14 阿宝的锅锅

 

    数论计算中经常出现的一种运算就是求一个数的幂a^b对另外一个数n个模的运算，即计算:

a^b mod n (a,b,n是正整数)

    由于计算机只能表示有限位的整数，所以编程时模取幂的运算要注意值的大小范围，当a^b的值超过整数范围时,mod运算便无法进行。

    如何解决这个问题，我们引出一个能计算a^b mod n的值的有用算法——反复平方法，首先我们必须明确：

d=a^b mod n=(…((((a mod n)*a)mod n)*a)mod n…*a)mod n    {共b个a}

    由此可以引出一个迭代式

         d:=a;

         for i:=2 to b do

            d:=d mod n*a;

         d:=d mod n;

    时间复杂度为O（b），当b很大时，效率很低。我们可以将b转换为二进制数<b_k,b_k-1,...,b₁,b₀>,然后从最低位b₀开始，由右至左逐位扫描，每次迭代时，用到下面两个恒等式：

a^2c mod n =(a^c)² mod n      b_i=0            

a^2c+1 mod n =a*(a^c)² mod n   b_i=1 (0<=c<=b)

    其中c为b的二进制数的后缀（b_i-1...b₀）对应的十进制数，当c成倍增加时，算法保持d=a^c mod n不变，直至c=b。

 

LL fun(LL x,LL n,)  
{  
    LL res=1;  
    while(n>0)  
    {  
        if(n & 1)  
            res=(res*x)%Max;  //二进制位为1时执行此步  
        x=(x*x)%Max;  
        n >>= 1;   //实质上这步只是不断地使二进制位从右向左移动，实现的是使res乘的A值等于2^(对应位+1)  
    }  
    return res;  
}