nyoj1007(euler 函数)

Posted 2020-08-14 ygeloutingyu

euler(x)公式能计算小于等于x的并且和x互质的数的个数；

我们再看一下如何求小于等于n的和n互质的数的和， 我们用sum(n)表示；

若gcd(x, a)=1，则有gcd(x, x-a)=1；

证明：假设gcd(x, x-a)=k (k>1)，那么有(x-a)%k=0---1式，x%k=0---2式； 由1式和2式可得 a%k=0---3式； 由2式和3式可得gcd(x, a)=k，与gcd(x, a)=1矛盾，即原式得证；

 

由此我们可以得知小于x并且与x互质的数必然是成对出现的并且有对应的一对数和为x；

所以有sum(n)=euler(n)/2*n；

 

题目链接：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=1007

题意：给出n和m，求满足条件gcd(x, n)>=m的x的x的和，其中1<=x<=n，1<= n, m <= 1e9；

思路：对于任意的x和n，有：x=a*q;

　　　　　　　　　　　　　 n=b*q; 

                                     其中q=gcd(x, n)，所以gcd(a, b)=1；

所以对于本题，我们可以枚举符合条件的q, 对于每个q对应的b，euler(b)即为所有符合条件的a的数目；

不过本题要求我们求所有符合条件的x的和，sum(b)是所有符合条件的a的和，x=a*q；对于每个符合条件的q对应的x的和，我们用solve(b)表示；

那么solve(b)=q*sum(b)，累加所有符合条件的q下的solve(b)即为本题答案；

 

代码：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define ll long long
 3 #define mod 1000000007
 4 #define MAXN 100000
 5 using namespace std;
 6 
 7 ll euler(ll x){    
 8     if(x<2){
 9         return 0;
10     }
11     int ans=1;
12     for(int i=2; i*i<=x; i++){
13         if(x%i==0){
14             ans*=i-1;
15             x/=i;
16         }
17         while(x%i==0){
18             x/=i;
19             ans*=i;
20         }
21     }
22     if(x>1){
23         ans*=x-1;
24     }
25     return ans;
26 }
27 
28 ll solve(ll x){
29     if(x==1){
30         return 1;
31     }else{
32         return euler(x)*x/2;
33     }
34 }
35 
36 int main(void){
37     ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
38     int t;
39     cin >> t;
40     while(t--){
41         ll n, m, ans=0;
42         cin >> n >> m;
43         for(int i=1; i*i<=n; i++){
44             if(n%i==0){
45                 if(i>=m){
46                     ll cnt=n/i;
47                     ans+=(i*solve(cnt))%mod;
48                 }
49                 if(i*i!=n&&n/i>=m){
50                     ll cnt=i;
51                     ans+=(n/cnt*solve(i))%mod;
52                 }
53             }
54         }
55         cout << (ans%mod+mod)%mod << endl;
56     }
57     return 0;
58 }