求解第N个素数

Posted 2020-08-14

　　这个题目是现代软件工程老师布置的一个个人项目，当看到这个题目第一个想到的就是筛法。然而仔细考虑下，筛法的信息冗余量实在太大，我要求第N个素数，却把前N个素数都求了出来，那有没有一个直接能求解第N个素数是什么的方法呢？答案当然是。。。没有。但是，有一种方法用迭代的方法能够求解π（x），即是0~x中素数的个数，它就是梅塞尔—勒梅尔公式，黑科技一般的公式。具体这个公式是什么样的，贴出来太麻烦，可以去wiki看一下，搜索素数计数函数即可（中文版需FQ）。

　　把这个问题搞定后，怎么求得第N个素数呢？显然当N小于梅塞尔—勒梅尔准备素数的个数时，直接从数组调取即可。当N很大时，我们可以用近似比例微分（PD）的调节方式来使π（x）快速逼近N，这里D项的系数可以参照素数在不同数量级大致的分布密度，P项系数可以默认为1。然而问题还没有解决，一方面是PD调节在系数不是很完美的情况下会出现在目标值附近震荡的情况，另一方面就是即恰好π（x）为N，也不能确定x就是第N个素数。对于第一个方面，由于D项的系数是跟密度相关的，是比较可信的，即使可能最后不恰好与目标值相同，但相差绝对不会很大，这就可以让其误差小于很小的一个整数时停止，比如3，接下来直接跨过偶数，调用公式直至与N相同。第二个方面其实也很简单，x为第N个素数，只需要π（x）=N，π（x-1）=N-1即可，解决这个问题可以用两种方法，一种继续套用公式递减直至满足条件即可，另一种是递减判断出第一个素数为止，这里可以用米勒罗宾算法，不过这两种方法在N较小时相差不大，N较大时后者会有一定的优势。

　　以下是耗费时间，具体代码参见https://github.com/WBinke/PrimeFinder