线性代数图与网络

Posted 2020-06-14

       前面的关于线性代数的文章都是从数学的角度来解说的。本文将换个角度来解说问题。

导师时常告诉我，凡事都要想想它的物理或实际意义，须要透过现象看本质，这样就能更加深刻的理解，这样就能够看看线性代数有什么实际的用途。

       如果有例如以下电路网络：

图中有1，2，3，4号节点，y1，y2，y3，y4，y5五条边，箭头的指向标明能够电流流向。

我们如果电流的出发点设为-1，到达点设为1。则我们能够通过矩阵来表示上述网络：

矩阵零空间的物理意义

我们首先考虑矩阵A的零空间。则有：

        从上面的式子能够看出Ax的结果是各个节点之间的差值，如果Xi为第i点的电势，那我们就赋予了物理意义：Ax=0的意思是当节点电势取何值时，全部的节点之间的电势差为0。非常显然。当全部节点等电势时显然成立，即：

        我们将图中各边的电流用b表示，则有等式Ax=b。当中A表示了电路节点之间的关系，x代表了各点的电势，b代表了各边的电流。

这样。我们就将一个物理问题数学化了。

上面讨论中b=0，x中各个分量同样，即说明电势同样，网络中没有电流，这与我们的物理常识是一致的：电势差是产生电流的原因。

矩阵左零空间的物理意义

        上面我们看了矩阵A的零空间，以下我们讨论矩阵A的左零空间，为了给我们的式子赋予实际意义。在下式中。我们如果y为每条边的电流，b为每一个节点的电流值，b=0说明电流为0。

该式反应的是电流中的基尔霍夫电流定律：流入一个节点的电流与流出的是相等的，即合电流为0

       举例说明，-Y1-Y3-Y4=0说明的是1号节点满足KCL的条件。

我们能够通过高斯消元法求得解，可是我们能够通过图来得到解：

在电路网络图中，我们能够看到，1，2，3号节点构成一个回路。1，3，4号也构成一个回路，为了满足基尔霍夫电流定律。我们能够仅仅让电流在回路中循环流动。即：我们能够得到两个特解：

那么左零空间能够表示为上述两个特解的线性组合。

        对AT进行消元。我们能够发现其秩是3，即列中有三行是线性无关的。由上面的两个特解，我们知道第1。2。3列是相关的，第3。4，5列是相关的，除此之外的随意三列都是线性无关的。我们发现Y1,Y2,Y3恰好构成回路。Y3,Y4,Y5也恰好构成回路，这说明相关性是由回路产生的。

欧拉公式的证明

欧拉公式：回路数=边数-顶点数+1

       前面文章说过。假设一个m*n的矩阵A的秩为r，则其左零空间的维数为m-r。

在这里，左零空间的维数代表的是不相关的回路数。m代表的是边数，因为矩阵A的零空间是1维的，则列空间的维数为r=n-1。

所以有下式成立（即欧拉公式）：

      不相关的回路数=边数-顶点数+1

 

原文：http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/41080571

作者：nineheadedbird