数位DP入门

Posted 2020-08-13

数位DP其实是很灵活的，所以一定不要奢求一篇文章就会遍所有数位DP的题，这一篇只能是讲清楚一种情况，其他情况遇到再总结，在不断总结中慢慢体会这个思想，以后说不定就能达到一看到题目就能灵活运用的水平。（其实DP都是这样……）

 

这一篇要说的数位DP是一道最简单的数位DP：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2089

　　　　　　题目大意：多组数据，每次给定区间[n,m]，求在n到m中没有“62“或“4“的数的个数。

　　　　　　如62315包含62，88914包含4，这两个数都是不合法的。0<n<=m<1000000

试想：我们如果能有一个函数count(int x)，可以返回[0,x]之间符合题意的数的个数。那么是不是直接输出count(m)-count(n-1)就是答案？

好，那么下面我们的关注点就在于怎么做出这个函数。我们需要一个数组。（dp原本就是空间换时间）

 

我们设一个数组f[i][j]，表示i位数，最高位是j的数，符合题意的数有多少个。比如f[1][2]=1; f[1][4]=0; f[2][6]=8 (60,61,63,64,65,66,67,68,69).

 

我们先不关注这个f有什么用，我们先关注f本身怎么求。首先f[1][i]=0(if i==4),f[1][i]=1(if i!=4) (0<=i<=9)。这一步是很显然的，那么根据这个题的数据范围，只需要递推到f[7][i]就够用了。那么稍微理解一下，可以想出递推式：

　　f[i][j]=

　　　　if (j==4) f[i][j]=0

　　　　else if (j!=6) f[i][j]=Σf[i-1][k] (k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

　　　　else if (j==6) f[i][j]=Σf[i-1][k] (k=0,1,3,4,5,6,7,8,9)

上面的式子也是很显然的，如果觉得不显然可以这样想：i位数，最高位是j的符合条件的数，如果j是4，肯定都不符合条件（因为题目不让有4），所以直接是0；如果j不是6，那么它后面随便取，只要符合题意就可以，所以是f[i-1][k],k可以随便取的和；如果j是6，后面只要不是2就行，所以是f[i-1][k],k除了2都可以，求和。

这里要说明一下，认为00052是长度为5，首位为0的符合条件的数，052是长度为3首位为0符合条件的数。

 

那么现在我们已经得到了f数组，再重申一下它的含义：i位数，最高位是j的数，符合题意的数有多少个。

现在我们就要关注怎么利用f数组做出上面我们说的那个函数count(int x)，它可以求出[0,x]中符合题意的数有多少个。

 

那么我们做这样一个函数int solve(int x) 它可以返回[0,x)中符合题意的有多少个。那么solve(x+1)实际上与count(x)是等价的。

 

那么现在问题转化成了：小于x，符合题意的数有多少个？

 

很简单，既然小于，从最高位开始比，必定有一位要严格小于x（前面的都相等）。所以我们就枚举哪一位严格小于（前面的都相等）。

 

假设我们现在把x分成了a₁,a₂,...,a_L这样一个数组，长度为L，a_L是最高位。

那么结果实际上就是这样：长度为L，最高位取[0,a_L-1]的所有的符合题意数的和；再加上长度为L-1，最高位取a_L，次高位取[0,a_L-1-1]的所有符合题意数的和；再加上……；一直到第一位。

 

上面有一句话之所以标粗体，是因为这句话并不是对的，但是为了好看，就先这样写着。因为我们还需要考虑这种情况：最高位a_L如果是4，那么这句话直接就可以终止了，因为粗体这句话前面的那句话“最高位取a_L”是不能成立的。还要考虑这种情况：最高位aL如果是6，那么这里并不是能取[0,a_L-1-1]的所有（不能取2）。加上这些条件之后就很严谨了。

 

把上面的汉字对应到题目里，就是我们前面求出来的f[L][0..a_L-1]  f[L-1][0..a_L-1-1]，所以稍加思索之后就能写出程序了。

 

#include<cstdio>

const int maxn=10;
long long f[maxn][10];

void getdp()
{
    f[0][0]=1;
    for (int i=1;i<10;i++)
    {
        for (int j=0;j<10;j++)
        {
            if (j==4) f[i][j]=0;
            else if (j==6)
            {
                for (int k=0;k<10;k++)
                    f[i][j]+=f[i-1][k];
                f[i][j]-=f[i-1][2];
            }
            else
            {
                for (int k=0;k<10;k++)
                    f[i][j]+=f[i-1][k];
            }
        }
    }
}

int a[maxn];
long long solve(int n)
{
    a[0]=0;
    while (n)
    {
        a[++a[0]]=n%10;
        n/=10;
    }
    a[a[0]+1]=0;
    long long ans=0;
    for (int i=a[0];i>=1;i--)
    {
        for (int j=0;j<a[i];j++)
            if (j!=4 && !(a[i+1]==6 && j==2))
                ans+=f[i][j];
        if (a[i]==4) break;
        if (a[i+1]==6 && a[i]==2) break;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int n,m;
    getdp();
    while (scanf("%d %d",&n,&m)==2 && (n||m))
    {
        long long k1=solve(m+1);
        long long k2=solve(n);
        //printf("::%d,%d::",k1,k2);
        printf("%I64d\n",k1-k2);
    }
    return 0;
}