ST算法

Posted 2020-08-12 F.r.a.n.k.y

作用：ST算法是用来求解给定区间RMQ的最值，本文以最小值为例

举例：

给出一数组A[0~5] = {5,4,6,10,1,12},则区间[2,5]之间的最值为1。

方法：ST算法分成两部分：离线预处理 （nlogn）和 在线查询（O(1)）。虽然还可以使用线段树、树状链表等求解区间最值，但是ST算法要比它们更快，而且适用于在线查询。

（1）离线预处理：运用DP思想，用于求解区间最值，并保存到一个二维数组中。

（2）在线查询：对给定区间进行分割，借助该二维数组求最值

具体解释：

（1）离线预处理：

ST算法使用DP思想求解区间最值，貌似属于区间动态规划，不过区间在增加时，每次并不是增加一个长度，而是使用倍增的思想，每次增加2^i个长度。

使用F[i,j]表示以i为起点，区间长度为2^j的区间最值，此时区间为[i,i + 2^j - 1]。

比如，F[0,2]表示区间[0,3]的最小值，即等于4，F[2,2]表示区间[2,5]的最小值，即等于1。

在求解F[i,j]时，ST算法是先对长度为2^j的区间[i,i + 2^j - 1]分成两等份，每份长度均为2^(j - 1)。之后在分别求解这两个区间的最值F[i,j - 1]和F[i + 2^(j - 1),j - 1]。，最后在结合这两个区间的最值，求出整个区间的最值。特殊情况，当j = 0时，区间长度等于0，即区间中只有一个元素，此时F[i,0]应等于每一个元素的值。

 

举例：要求解F[1,2]的值，即求解区间[1,4] = {4,6,10,1}的最小值，此时需要把这个区间分成两个等长的区间，即为[1,2]和[3,4]，之后分别求解这两个区间的最小值。此时这两个区间最小值分别对应着F[1,1] 和 F[3,1]的值。

状态转移方程是 F[i,j] = min(F[i,j - 1],F[i + 2^(j - 1),j - 1])

初始状态为：F[i,0] = A[i]。

在根据状态转移方程递推时，是对每一元素，先求区间长度为1的区间最值，之后再求区间长度为2的区间最值，之后再求区间长度为4的区间最值....，最后，对每一个元素，在求解区间长度为log2^n的区间最值后，算法结束，其中n表示元素个数。

即：先求F[0][1]，F[1][1]，F[2][1]，F[3][1]，,，F[n][1]，再求.F[0][2]，F[1][2]，F[2][2]，F[3][2]，,，F[m][2]，... 。

（2）在线处理：这里我们是已知待查询的区间[x,y]，求解其最值。

在预处理期间，每一个状态对应的区间长度都为2^i。由于给出的待查询区间长度不一定恰好为2^i，因此我们应对待查询的区间进行处理。

这里我们把待查询的区间分成两个小区间，这两个小区间满足两个条件：（1）这两个小区间要能覆盖整个区间（2）为了利用预处理的结果，要求小区间长度相等且都为2^i。注意两个小区间可能重叠。

如：待查询的区间为[3,11]，先尽量等分两个区间，则先设置为[3,7]和[8,11]。之后再扩大这两个区间，让其长度都等于为2^i。刚划分的两个区间长度分别为5和4，之后继续增加区间长度，直到其成为2^i。此时满足两个条件的最小区间长度为8,此时i = 3。

在程序计算求解区间长度时，并没有那么麻烦，我们可以直接得到i，即等于直接对区间长度取以2为底的对数。这里，对于区间[3,11]，其分解的区间长度为int（log(11 - 3 + 1)） = 3，这里log是以2为底的。

根据上述思想，可以把待查询区间[x，y]分成两个小区间[x，x + 2^i - 1] 和 [y - 2^i + 1，y] ，其又分别对应着F[x,i]和F[y - 2^i + 1,i]，此时为了求解整个区间的最小值，我们只需求这两个值得最小值即可，此时复杂度是O(1)。

代码：

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

/*方程
F[i,j]:区间[i,i + 2^j - 1]的最小值，此时区间长度为2^j
F[i,j] = min(F[i,j - 1],F[i + 2^(j - 1),j - 1])
F[i,0] = nArr[i];*/

int F[1000000][20];//待比较元素的个数最大为1百万
void SparseTable(int nArr[],int nLen)
{
    //初始化
    for (int i = 0;i < nLen;i++)
    {
        F[i][0] = nArr[i];
    }
    //递推
    int nLog = int(log(double(nLen))/log(2.0));
    for (int j = 1;j <= nLog;j++)
    {
        for (int i = 0;i < nLen;i++)
        {
            if ((i + (1 << j) - 1) < nLen)//区间的端点不能超过数组最后一位的下标
            {
                F[i][j] = min(F[i][j - 1],F[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
            }
        }
    }
}

int RMQ(int nArr[],int nLen,int nStart,int nEnd)
{
    int nLog = (int)(log(double(nEnd - nStart + 1)/log(2.0)));
    return min(F[nStart][nLog],F[nEnd - (1 << nLog) + 1][nLog]);
}

int main()
{
    int nArr[6] = {5,4,6,10,1,12};
    SparseTable(nArr,6);
     
    cout<<RMQ(nArr,6,0,5)<<endl;
    cout<<RMQ(nArr,6,1,3)<<endl;
    cout<<RMQ(nArr,6,2,5)<<endl;
    cout<<RMQ(nArr,6,2,2)<<endl;

    system("pause");
    return 1;
}

 

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