睡前1小时数学之矩阵及其应用

Posted 2020-08-12 没有后路的路

矩阵难到不解释。

1，矩阵

矩阵这个东西。顾名思义。就是由元素组成的矩形阵列。如图。这里的元素可能是符号啊，实数，式子什么的。

而这个矩阵的意义其实在于求解线性方程组。线性方程组中的未知数的量排成一个矩阵，加上常数项，就是增广矩阵。

还有什么表示线性转换，就不讲了。反正。也不会。

 

2，标记。

一般将一个矩阵中的m*n个元素，简称元，数a(ij)的位于矩阵A的第i行，第j列。这个数就被叫做这个矩阵A的(i,j)元。各种的记法就不说了。都是一个东西。明白元。就好。之后就是矩阵是怎么来的。

其实矩阵一开始是用来表示线性方程组。就像上面讲的一样。给一个图式可能就会明白很多。

 

就是这样，在求解线性方程和快速优化DP方程组的时候都特别有用。矩阵快速幂－－就是很强大。

 

3，矩阵的基本运算。

这个相比于矩阵乘法就很简单了，简单明了，https://zh.wikipedia.org/wiki/矩阵  这个维基百科讲的很详细，我就简单讲讲。

 1）加减法，矩阵做加法的时候，得满足两个矩阵都是m*n的范围。所以。每一位对应相加就好了。

矩阵的加减法满足结合律和交换律。（重点）

 2）数乘，注意这里不是乘法，只是数乘，用一个数，去乘矩阵里的每一个数。

矩阵的数乘满足结合律和分配律。

 3）转置，矩阵的转置，就是把矩阵A的行换成同序数的列所得到的新矩阵。简单来讲。就是

 

4，关于矩阵乘法。

这个才是矩阵的重头戏。才是精髓，矩阵被定义出来求解线性方程，这个就是重头戏。

首先，矩阵乘法中，两矩阵必须满足 矩阵A mn 矩阵B nq 矩阵A的列数必须等于矩阵B的行数。他们的乘积求出的矩阵C 就是矩阵m*q。

给出一个矩阵乘法公式。

 

矩阵乘法主要满足结合律和左分配律和右分配律。但是！就是不满足交换律。

关于证明，这个很玄学。很多省队的dalao都会。这里贴上室友的博客，他写的是可以看懂，不过证明的不全，这个东西，知其意就好。

http://www.cnblogs.com/reddest/p/5919686.html

 

5,斐波那契数列，矩阵乘法算法。

斐波那契数列的递推式很简单 f[i]=f[i-1]+f[i-2]  

这个也可以看成一个线性方程，如果，把f[i-1] ,f[i-2]看成未知数，而f[i]看成他们的函数值。这里，线性方程就有了。可是这知识一个啊。没有线性方程组。，方程组这个东西可以凑，这个可以自己组合起来，而这个构造矩阵模型，就是矩阵最难的地方，这个得自己去推算，和证明。

贴上我的方法。

 

既然知道方法，其实代码实现就很简单了。这里放一个简单的斐波那契数列的代码。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<string.h>
 3 struct node {
 4     long long int v[3][3];
 5     node(){
 6     memset(v,0,sizeof(v));
 7     }
 8 }a,ans;
 9 int mod;
10 node operator*(node x,node y)//重载运算符，这里模拟的是矩阵乘法。
11 {
12     node res;
13     for(int i=1;i<=2;++i)
14     for(int j=1;j<=2;++j)
15         for(int k=1;k<=2;++k)
16         {
17         res.v[i][j]+=(x.v[i][k]*y.v[k][j]);
18         }
19     return res;
20 }
21 int main()
22 {
23     int n,t;
24     scanf("%d",&n);
25     while(n--)
26     {
27     ans.v[1][1]=1;ans.v[2][1]=1;//初始化初始矩阵1。
28         a.v[1][1]=a.v[1][2]=a.v[2][1]=1;
29     scanf("%d",&t);
30     for(int i=1;i<t-2;i++) //注意理解乘方的概念。
31     {
32         ans=a*ans;
33     }
34     printf("%lld\\n",ans.v[1][1]);
35     }
36     return 0;
37 }

6,矩阵快速幂。

这个其实是快速幂的主要思路。不过乘法代替成矩阵乘法.

 1 #include<cstdio>
 2 #include<string.h>
 3 struct node{
 4     int v[3][3];
 5     node(){
 6     memset(v,0,sizeof(v));
 7     }
 8 }ans,a;
 9 node operator*(node x,node y)
10 {
11     node res;
12     for(int i=1;i<=2;++i)
13     for(int j=1;j<=2;++j)
14     {
15         for(int k=1;k<=2;k++)
16         res.v[i][j]+=(x.v[i][k]*y.v[k][j]);
17     }
18     return res;
19 }
20 int main()
21 {
22     int n;
23     scanf("%d",&n);
24     a.v[1][1]=a.v[1][2]=a.v[2][1]=1;
25     ans.v[1][1]=1;ans.v[2][2]=1;
26     for(int i=n-1;i;i>>=1,a=a*a)
27     {
28     if(i&1)ans=ans*a;
29     }
30     printf("%d",ans.v[1][1]);
31     return 0;
32 }