数学（概率）：HNOI2013 游走

Posted 2020-08-11 既然选择了远方，便只顾风雨兼程

【题目描述】

一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。
小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。
现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。

【输入格式】

第一行是正整数N和M，分别表示该图的顶点数 和边数，接下来M行每行是整数u，v(1≤u,v≤N)，表示顶点u与顶点v之间存在一条边。 输入保证30%的数据满足N≤10，100%的数据满足2≤N≤500且是一个无向简单连通图。

【输出格式】

仅包含一个实数，表示最小的期望值，保留3位小数。

【样例输入】

  3  3                
  2  3
  1  2
  1  3
  

【样例输出】

3.333

【提示】

边(1,2)编号为1，边(1,3)编号2，边(2,3)编号为3。

这道题目，先求每个点经过的期望次数，我觉得一般是用正推的，然后贪心。

 

 

 

 1 #include <algorithm>
 2 #include <iostream>
 3 #include <cstring>
 4 #include <cstdio>
 5 #include <cmath>
 6 using namespace std;
 7 const int N=510,M=N*N;
 8 int n,m,e[M][2],d[N];
 9 long double A[N][N];
10 double ans,w[M],x[N];
11 void Guass_Elimination(){
12     for(int i=1;i<n;i++){
13         int p=i;
14         for(int j=i+1;j<n;j++)
15             if(fabs(A[p][i])<fabs(A[j][i]))
16                 p=j;
17         if(p!=i)
18             for(int j=1;j<=n;j++)
19                 swap(A[i][j],A[p][j]);
20         long double tmp=A[i][i];
21         for(int j=1;j<=n;j++)
22             A[i][j]/=tmp;
23         for(int j=1;j<n;j++)
24             if(i!=j){
25                 tmp=A[j][i];
26                 for(int k=1;k<=n;k++)
27                     A[j][k]-=tmp*A[i][k];
28             }
29     }
30     for(int i=1;i<n;i++)
31         x[i]=A[i][n];
32 }
33 int main(){
34     freopen("walk.in","r",stdin);
35     freopen("walk.out","w",stdout);
36     scanf("%d%d",&n,&m);
37     for(int i=1;i<=m;i++){
38         scanf("%d%d",&e[i][0],&e[i][1]);
39         d[e[i][0]]+=1;d[e[i][1]]+=1;
40     }A[1][n]=1;
41     for(int i=1;i<n;i++)A[i][i]=1;
42     for(int i=1;i<=m;i++){
43         if(e[i][0]==n||e[i][1]==n)continue;
44         A[e[i][0]][e[i][1]]+=-1.0/d[e[i][1]];
45         A[e[i][1]][e[i][0]]+=-1.0/d[e[i][0]];
46     }
47     Guass_Elimination();
48     for(int i=1;i<=m;i++){
49         w[i]+=x[e[i][0]]/d[e[i][0]];
50         w[i]+=x[e[i][1]]/d[e[i][1]];
51     }
52     sort(w+1,w+m+1);
53     for(int i=1;i<=m;i++)
54         ans+=w[i]*(m-i+1);
55     printf("%.3lf\n",ans);    
56     return 0;
57 }