uoj58 WC2013—糖果公园

Posted 2020-08-11 MashiroSky

http://uoj.ac/problem/58 (题目链接)

题意：给定一棵树，每个点有一个颜色，提供两种操作： 
　　　1.询问两点间路径上的Σv[a[i]]*w[k]，其中a[i]代表这个点的颜色，k表示这个点是这种颜色第k次出现 
　　　2.修改某个点的颜色

Solution 
　　带修改树上莫队。 
　　按左端点所在块为第一关键字，右端点所在块为第二关键字，时间为第三关键字，排序。可能会有疑问可不可以以右端点dfs序为第二关键字？这里我们为了突出第三关键字的作用，选择以右端点所在块为第二关键字。每个节点的dfs序都不同，如果以dfs序为第二关键字的话，第三关键字就没用了。当然这样写也不是不行，但时间会略长。 


　　然后进行树上莫队，每次询问经过修改或逆修改来使时间倒流或前进。 
　　复杂度证明，很好理解。 
　　

复杂度证明： 
　　设block_num为块数，block_size为块的大小，则有block_num×block_size=n，在证明中我们假设n，q同阶。 
　　设块对(block_i,block_j)，易知这样的块对不会超过block_num2个。 
　　对于块对内的操作：我们考虑总复杂度，左端点共移动至多O(q×block_size)，右端点亦是。时间共移动至多O(block_num2×q)。故这一部分的复杂度为O(n×(block_size+block_num2))。 
　　对于块与块之间的操作，不超过block_num2次：左端第移动一次，最多O(n)，右端点亦是如此。时间最多移动O(q)=O(n)。故这一部分复杂度为O(block_num2×n)。 
故总复杂度为O(n×(block_size+block_num2))。 
　　可以证明当block_size=n2/3时，block_num=n1/3，复杂度最优，为O(n5/3)。

代码：

// uoj58
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define MOD 1000000007
#define inf 2147483640
#define LL long long
#define free(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std;
inline LL getint() {
    LL x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch>‘9‘ || ch<‘0‘) {if (ch==‘-‘) f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) {x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
    return x*f;
}

const int maxn=100010;
struct edge {int to,next;}e[maxn<<2];
struct ask {int u,v,id,pre,t;}a1[maxn],a2[maxn];
LL res[maxn],ans;
int pos[maxn],v[maxn],w[maxn],dfn[maxn],bin[20],fa[maxn][20],deep[maxn],st[maxn],p[maxn],vis[maxn],c[maxn],pre[maxn],head[maxn];
int block,blonum,n,m,q,cnt,cnt1,cnt2,top;

void insert(int u,int v) {
    e[++cnt].to=v;e[cnt].next=head[u];head[u]=cnt;
    e[++cnt].to=u;e[cnt].next=head[v];head[v]=cnt;
}
bool cmp(ask a,ask b) {
    if (pos[a.u]==pos[b.u] && pos[a.v]==pos[b.v]) return a.t<b.t;
    if (pos[a.u]==pos[b.u]) return pos[a.v]<pos[b.v];
    return pos[a.u]<pos[b.u];
}
int dfs(int x) {
    int size=0;
    dfn[x]=++cnt;
    for (int i=1;i<20;i++) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
    for (int i=head[x];i;i=e[i].next) if (e[i].to!=fa[x][0]) {
            deep[e[i].to]=deep[x]+1;
            fa[e[i].to][0]=x;
            size+=dfs(e[i].to);
            if (size>=block) {
                blonum++;
                while (size--) pos[st[top--]]=blonum;
                size=0;
            }
        }
    st[++top]=x;
    return size+1;
}
void work(int x) {
    if (!vis[x]) {vis[x]=1;p[c[x]]++;ans+=(LL)w[p[c[x]]]*v[c[x]];}
    else {vis[x]=0;ans-=(LL)w[p[c[x]]]*v[c[x]];p[c[x]]--;}
}
void modify(int x,int y) {
    if (vis[x]) {
        work(x);
        c[x]=y;
        work(x);
    }
    else c[x]=y;
}
void solve(int x,int y) {
    while (x!=y) {
        if (deep[x]<deep[y]) work(y),y=fa[y][0];
        else work(x),x=fa[x][0];
    }
}
int lca(int x,int y) {
    if (deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
    int t=deep[x]-deep[y];
    for (int i=0;bin[i]<=t;i++) if (bin[i]&t) x=fa[x][i];
    for (int i=19;i>=0;i--)
        if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];
    return x==y?x:fa[x][0];
}
int main() {
    bin[0]=1;for (int i=1;i<20;i++) bin[i]=bin[i-1]<<1;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for (int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&v[i]);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
    for (int i=1;i<n;i++) {
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        insert(u,v);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&c[i]),pre[i]=c[i];
    block=(int)pow(n,0.6);
    cnt=0;dfs(1);
    cnt1=0,cnt2=0;
    for (int i=1;i<=q;i++) {
        int x,u,v;
        scanf("%d%d%d",&x,&u,&v);
        if (x) {
            cnt1++;
            if (dfn[u]>dfn[v]) swap(u,v);
            a1[cnt1].u=u;a1[cnt1].v=v;a1[cnt1].id=cnt1;a1[cnt1].t=cnt2;
        }
        else {
            cnt2++;
            a2[cnt2].u=u;a2[cnt2].v=v;a2[cnt2].pre=pre[u];pre[u]=v;
        }
    }
    sort(a1+1,a1+cnt1+1,cmp);
    for (int i=1;i<=a1[1].t;i++) modify(a2[i].u,a2[i].v);
    solve(a1[1].u,a1[1].v);
    int t=lca(a1[1].u,a1[1].v);
    work(t);
    res[a1[1].id]=ans;
    work(t);
    for (int i=2;i<=cnt1;i++) {
        for (int j=a1[i-1].t+1;j<=a1[i].t;j++) modify(a2[j].u,a2[j].v);
        for (int j=a1[i-1].t;j>a1[i].t;j--) modify(a2[j].u,a2[j].pre);
        solve(a1[i-1].u,a1[i].u);
        solve(a1[i-1].v,a1[i].v);
        t=lca(a1[i].u,a1[i].v);
        work(t);
        res[a1[i].id]=ans;
        work(t);
    }
    for (int i=1;i<=cnt1;i++) printf("%lld\n",res[i]);
    return 0;
}