算法分析-堆排序 Heap Sort
Posted 暗影侠客
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了算法分析-堆排序 Heap Sort相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
堆排序的是集合了插入排序的单数组操作，又有归并排序的时间复杂度，完美的结合了2者的优点。
堆的定义
n个元素的序列{k1，k2，…,kn}当且仅当满足下列关系之一时，称之为堆。
情形1：ki <= k2i 且ki <= k2i+1 （最小化堆或小顶堆）
情形2：ki >= k2i 且ki >= k2i+1 （最大化堆或大顶堆）
其中i=1,2,…,n/2向下取整;
若将和此序列对应的一维数组（即以一维数组作此序列的存储结构）看成是一个完全二叉树，则堆的含义表明，完全二叉树中所有非终端结点的值均不大于（或不小于）其左、右孩子结点的值。
由此，若序列{k1，k2，…,kn}是堆，则堆顶元素（或完全二叉树的根）必为序列中n个元素的最小值（或最大值）。
例如，下列两个序列为堆，对应的完全二叉树如图：
若在输出堆顶的最小值之后，使得剩余n-1个元素的序列重又建成一个堆，则得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列，这个过程称之为堆排序。
堆排序（Heap Sort）只需要一个记录元素大小的辅助空间（供交换用），每个待排序的记录仅占有一个存储空间。
堆的存储
一般用数组来表示堆，若根结点存在序号0处， i结点的父结点下标就为(i-1)/2。i结点的左右子结点下标分别为2*i+1和2*i+2。
（注：如果根结点是从1开始，则左右孩子结点分别是2i和2i+1。）
如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。
如最大化堆如下：
左图为其存储结构，右图为其逻辑结构。
堆排序的实现
实现堆排序需要解决两个问题：
1.如何由一个无序序列建成一个堆？
2.如何在输出堆顶元素之后，调整剩余元素成为一个新的堆？
先考虑第二个问题，一般在输出堆顶元素之后，视为将这个元素排除，然后用表中最后一个元素填补它的位置，自上向下进行调整：首先将堆顶元素和它的左右子树的根结点进行比较，把最小的元素交换到堆顶；然后顺着被破坏的路径一路调整下去，直至叶子结点，就得到新的堆。
我们称这个自堆顶至叶子的调整过程为“筛选”。
从无序序列建立堆的过程就是一个反复“筛选”的过程。
构造初始堆
初始化堆的时候是对所有的非叶子结点进行筛选。
最后一个非终端元素的下标是[n/2]向下取整，所以筛选只需要从第[n/2]向下取整个元素开始，从后往前进行调整。
比如，给定一个数组，首先根据该数组元素构造一个完全二叉树。
然后从最后一个非叶子结点开始，每次都是从父结点、左孩子、右孩子中进行比较交换，交换可能会引起孩子结点不满足堆的性质，所以每次交换之后需要重新对被交换的孩子结点进行调整。
进行堆排序
有了初始堆之后就可以进行排序了。
堆排序是一种选择排序。建立的初始堆为初始的无序区。
排序开始，首先输出堆顶元素（因为它是最值），将堆顶元素和最后一个元素交换，这样，第n个位置（即最后一个位置）作为有序区，前n-1个位置仍是无序区，对无序区进行调整，得到堆之后，再交换堆顶和最后一个元素，这样有序区长度变为2。。。
不断进行此操作，将剩下的元素重新调整为堆，然后输出堆顶元素到有序区。每次交换都导致无序区-1，有序区+1。不断重复此过程直到有序区长度增长为n-1，排序完成。
堆排序实例
首先，建立初始的堆结构如图：
然后，交换堆顶的元素和最后一个元素，此时最后一个位置作为有序区（有序区显示为黄色），然后进行其他无序区的堆调整，重新得到大顶堆后，交换堆顶和倒数第二个元素的位置……
重复此过程：
最后，有序区扩展完成即排序完成：
由排序过程可见，若想得到升序，则建立大顶堆，若想得到降序，则建立小顶堆。
代码
假设排列的元素为整型，且元素的关键字为其本身。
因为要进行升序排列，所以用大顶堆。
根结点从0开始，所以i结点的左右孩子结点的下标为2i+1和2i+2。
1 //将父节点的值和最大值交换 2 Array.prototype.swap = function (i, j) { 3 var temp = this[i]; 4 this[i] = this[j]; 5 this[j] = temp; 6 }; 7 8 //生成以i为根节点的最大堆 9 Array.prototype.MAX_HEAPTIFY = function (i) { 10 var largest = i; 11 var left = i * 2 + 1; //左孩子节点坐标 12 var right = i * 2 + 2; //右孩子节点坐标 13 14 if (left < heap_size && this[left] > this[largest]) { //这其实是一个剪枝的过程，因为heap_size后面都是排序好的。 15 largest = left; 16 } 17 if (right < heap_size && this[right] > this[largest]) { 18 largest = right; 19 } 20 if (largest !== i) { 21 this.swap(i, largest); 22 arguments.callee.call(this, largest); 23 } 24 }; 25 26 //生产堆 27 Array.prototype.BUILD_HEAP = function () { 28 var lastP = Math.floor(this.length / 2) - 1; //最后一个非叶子节点。 29 for (var k = lastP; k >= 0; k--) { 30 this.MAX_HEAPTIFY(k); 31 } 32 }; 33 34 //主程序 35 Array.prototype.HEAP_SORT = function () { 36 this.BUILD_HEAP(); //生成最大堆 37 for (var i = this.length - 1; i > 0; i--) { 38 this.swap(0, i); //将最大的数即第一个元素放到最后。 39 heap_size = i; 40 this.MAX_HEAPTIFY(0); 41 } 42 }; 43 44 var A = [3, 4, 5, 1, 2, 6, 8, 3]; 45 var heap_size = A.length; //包括heap_size在内的后面的坐标，都是排序好的。 46 A.HEAP_SORT(); 47 console.log(A);
如果对上诉描述还是不清楚，下面给出算法导论里的习题，方面大家一步步更深的理解：
习题一：当A[i]比其两子女都大的时候，调用MAX-HEAPIFY(A,i)的效果是怎么样?
答案：其实没变化的，我们可以看最后的if(largest!=i),才会递归下去，不然不变。这是算法导论里的伪代码：
习题二:对i>heap-size[A]/2,调用MAX-HEAPIFY(A,i)会怎么样？
分析：我们知道heap-size[A]后面都是排好序的，那heap-size[A]/2的位置便是最后一个非叶子节点，
当i>heap−size[A]/2，结点为叶子结点没有孩子，所以不会有任何改变。
习题三:MAX-HEAPIFY效率虽然高，但是第十行，可能导致某些编译程序产生出低效的代码，请把递归改成迭代：
1 Max-Heapify(A, i) 2 while true 3 l = Left(A, i) 4 r = Right(A, i) 5 if l <= A.heap-size and A[l] > A[i] 6 largest = l 7 else 8 largest = i 9 if r <= A.heap-size and A[r] > A[largest] 10 largest = r 11 if largest != i 12 swap A[i] with A[largest] 13 i = largest 14 else 15 break
整个堆排序的算法：
到此为止，堆排序已经全部讲解完了，我们发现核心的函数就MAX-HEAPTITY,他的时间复杂度其实是和这个二叉树的高度成正比的，我们可以认为是O(lgn).步骤就是先建立一个堆，建完就把第一个元素【最大或者最小】放到最后，如此循环，只到全部排序完毕。
虽然堆排序很优秀，但是快排其实用的更多，但是代表堆排序作用小，最小/最大优先级队列其实是搜索查找的启蒙算法。他就是基于堆排 .
1 //生成以i为根节点的最大堆 2 Array.prototype.MAX_HEAPTIFY = function (i) { 3 var largest = i; 4 var left = i * 2 + 1; //左孩子节点坐标 5 var right = i * 2 + 2; //右孩子节点坐标 6 7 if (left < heap_size && this[left] > this[largest]) { //这其实是一个剪枝的过程，因为heap_size后面都是排序好的。 8 largest = left; 9 } 10 if (right < heap_size && this[right] > this[largest]) { 11 largest = right; 12 } 13 if (largest !== i) { 14 this.swap(i, largest); 15 arguments.callee.call(this, largest); 16 } 17 }; 18 19 //将父节点的值和最大值交换 20 Array.prototype.swap = function (i, j) { 21 var temp = this[i]; 22 this[i] = this[j]; 23 this[j] = temp; 24 }; 25 26 //生产最大堆 27 Array.prototype.BUILD_HEAP = function () { 28 var lastP = Math.floor(this.length / 2) - 1; //最后一个非叶子节点。 29 for (var k = lastP; k >= 0; k--) { 30 this.MAX_HEAPTIFY(k); 31 } 32 }; 33 34 //返回集合中子最大的关键字 35 Array.prototype.HEAP_MAXIMUM = function () { 36 return this[0] 37 }; 38 39 //去掉并返回集合中的具有最大关键字的元素 40 Array.prototype.HEAP_EXTRACT_MAX = function () { 41 //if (heap_size2 < 1) { 42 //必须保证有元素 43 if (this.length < 1) { 44 throw new Error("heap underflow"); 45 } 46 var max = this[0]; 47 //this[0] = this[heap_size2]; //把最后一个元素放到最前面， 48 this[0] = this[this.length-1]; //把最后一个元素放到最前面， 49 this.pop(); //将最后一个元素删除 50 // --heap_size2; //此时因为弹出了一个元素，存储就少了 51 this.MAX_HEAPTIFY(0); 52 return max; 53 54 }; 55 //将元素x的关键字的值增加到k 56 Array.prototype.HEAP_INCREASE_KEY = function (i, key) { 57 if (key < this[i]) { 58 throw new Error("太小了"); 59 } 60 this[i] = key; 61 function parent(x) { 62 return Math.floor(x / 2); 63 } 64 65 while (i > 0 && this[parent(i)] < key) { 66 this.swap(parent(i), i); 67 i = parent(i); 68 } 69 }; 70 71 72 //把元素key插入集合 73 Array.prototype.MAX_HEAP_INSERT = function (key) { 74 // heap_size2++; 75 // this[heap_size2] = Number.NEGATIVE_INFINITY; 76 this[this.length] = Number.NEGATIVE_INFINITY; 77 //this.HEAP_INCREASE_KEY(heap_size2, key); 78 this.HEAP_INCREASE_KEY(this.length - 1, key); 79 }; 80 81 82 var A = [4, 9, 3, 11, 7, 22, 6, 8, 33, 57, 2, 5, 8]; 83 var heap_size = A.length; 84 //var heap_size2 = A.length - 1; 85 A.BUILD_HEAP(); 86 console.log(A); 87 console.log(A.HEAP_MAXIMUM()); 88 console.log(A.HEAP_EXTRACT_MAX()); 89 console.log(A); 90 A.MAX_HEAP_INSERT(100); 91 console.log(A); 92 A.HEAP_INCREASE_KEY(1, 99); 93 console.log(A);
以上是关于算法分析-堆排序 Heap Sort的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章