堆排序算法

Posted 2020-08-09 毛先森

一、堆排序算法的基本特性
时间复杂度：O（n*lgn）
最坏：O（n*lgn）
空间复杂度：O（1）
不稳定。

堆排序是一种选择排序算法，与关键字的初始排列次序无关，即就是在最好，最坏，一般的情况下排序时间复杂度不变。对包含n个数的输入数组，平均时间为O（nlgn），最坏情况（已经排好序）也是是O（nlgn），最好情况（完全无序）也是O（nlgn）。由于不但时间复杂度少，而且空间复杂度也是最少的，所以是用于排序的最佳选择。因为，基于比较的排序，最快也只能达到O（nlgn），虽然快排也可以达到这个这个水平，但是快排的时间复杂度是跟关键字的初始排序有关，最坏的情况退化成O(n^2)，而且快排的空间复杂度是O（n*lgn）。

二、堆的定义

n个元素的序列{k₁，k₂，…,k_n}当且仅当满足下列关系之一时，称之为堆。

　　情形1：k_i <= k_2i 且k_i <= k_2i+1 （最小化堆或小顶堆：左、右子孩子的值比父结点的值都大）

　　情形2：k_i >= k_2i 且k_i >= k_2i+1 （最大化堆或大顶堆：左、右子孩子的值比父结点的值都小）

　　其中i=1,2,…,n/2向下取整;

若将和此序列对应的一维数组（即以一维数组作此序列的存储结构）看成是一个完全二叉树，则堆的含义表明，完全二叉树中所有非叶子结点的值均不大于（或不小于）其左、右孩子结点的值。

　　由此，若序列{k₁，k₂，…,k_n}是堆，则堆顶元素（或完全二叉树的根）必为序列中n个元素的最小值（或最大值）。

　　例如，下列两个序列为堆，对应的完全二叉树如图：

若在输出堆顶的最小值之后，使得剩余n-1个元素的序列重又建成一个堆，则得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列，这个过程称之为堆排序。

　　堆排序（Heap Sort）只需要一个记录元素大小的辅助空间（供交换用），每个待排序的记录仅占有一个存储空间。

三、堆的存储

一般用数组来表示堆，若根结点存在序号0处， i结点的父结点下标就为(i-1)/2。i结点的左右子结点下标分别为2*i+1和2*i+2。

　　（注：如果根结点是从1开始，则左右孩子结点分别是2i和2i+1。）

　　如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。

　　如大顶堆如下：

左图为其存储结构，右图为其逻辑结构。

四、堆排序的实现

实现堆排序需要解决两个问题：

　　　　1.如何由一个无序序列建成一个堆？

　　　　2.如何在输出堆顶元素之后，调整剩余元素成为一个新的堆？

 　　先考虑第二个问题，一般在输出堆顶元素之后，视为将这个元素排除，然后用表中最后一个元素填补它的位置，自上向下进行调整：首先将堆顶元素和它的左右子树的根结点进行比较，把最小的元素交换到堆顶；然后顺着被破坏的路径一路调整下去，直至叶子结点，就得到新的堆。

　　我们称这个自堆顶至叶子的调整过程为“筛选”。

　　从无序序列建立堆的过程就是一个反复“筛选”的过程。

构造初始堆

　　初始化堆的时候是对所有的非叶子结点进行筛选。

　　假设有n个元素的堆，那么最后一个非叶子元素的下标是[n/2]-1（向下取整），所以筛选只需要从第[n/2]-1个元素开始，从后往前进行调整。

　　比如，给定一个数组，首先根据该数组元素构造一个完全二叉树。

　　然后从最后一个非叶子结点开始，每次都是从父结点、左孩子、右孩子中进行比较交换，交换可能会引起孩子结点不满足堆的性质，所以每次交换之后需要重新对被交换的孩子结点进行调整。

进行堆排序

　　有了初始堆之后就可以进行排序了。

　　堆排序是一种选择排序。建立的初始堆为初始的无序区。

　　排序开始，首先输出堆顶元素（因为它是最值），将堆顶元素和最后一个元素交换，这样，第n-1个位置（即最后一个位置）作为有序区，前n-2个位置仍是无序区，对无序区进行调整，得到堆之后，再交换堆顶和最后一个元素，这样有序区长度变为2。。。

　　不断进行此操作，将剩下的元素重新调整为堆，然后输出堆顶元素到有序区。每次交换都导致无序区-1，有序区+1。不断重复此过程直到有序区长度增长为n-1，排序完成。

堆排序实例

 　　首先，建立初始的堆结构如图：

然后，交换堆顶的元素和最后一个元素，此时最后一个位置作为有序区（有序区显示为黄色），然后进行其他无序区的堆调整，重新得到大顶堆后，交换堆顶和倒数第二个元素的位置……

重复此过程：

最后，有序区拓展完成，即排序完成：

由排序过程可见，若想得到升序，则建立大顶堆，若想得到降序，则建立小顶堆。

五、代码

假设排列的元素为整型，且元素的关键字为其本身。

因为要进行升序排列，所以用大顶堆。

根结点从0开始，所以i结点的左右孩子结点的下标为2i+1和2i+2。

import java.util.Scanner;

/**
 * 堆排序
 * 时间复杂度：O（n*lgn）
 * 空间复杂度：O（1）
 * @author breeze
 *
 */
public class HeapSort {
    /**
     * 堆排序的主方法
     * 
     * @param array
     * @return
     */
    public static int[] sortHeap(int[] array) {
        buildHeap(array);// 构建堆
        int n = array.length;//数组中元素的个数
        
        for (int i = n - 1; i >= 1; i--) {
            swap(array, 0, i);//交换首尾元素
            adjustHeap(array, 0, i);//调整堆
        }
        return array;
    }


    /**
     * 构建大顶堆堆
     * 从最后一个非叶子结点开始调整堆。每次都是从父结点，左节点，右结点三者中选最大值与父结点交换
     * @param array
     */
    private static void buildHeap(int[] array) {
        int n = array.length;// 数组中元素的个数
        
        for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)//i= n/2-1  表示最后一个非叶子结点的索引值
            adjustHeap(array, i, n);
    }
    /**
     * 调整堆
     * @param A
     * @param idx
     * @param max 堆的大小
     */
    private static void adjustHeap(int[] A, int idx, int max) {
        int left = 2 * idx + 1;// 左孩子的下标（如果存在的话）
        int right = left + 1;// 左孩子的下标（如果存在的话）
        int largest = 0;// 寻找3个节点中最大值节点的下标
        
        if (left < max && A[left] > A[idx])//左孩子的值比父结点的值大
            largest = left;
        else
            largest = idx;
        
        if (right < max && A[right] > A[largest])
            largest = right;
        
        if (largest != idx) {
            swap(A, largest, idx);//从左节点，右结点中选最大值与父结点交换
            adjustHeap(A, largest, max);
        }
    }
    private static void swap(int[] array, int i, int i2) {
        int temp = array[i];
        array[i] = array[i2];
        array[i2] = temp;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in); 
          while(sc.hasNextLine()){ 
            String str = sc.nextLine(); //获取一行 
            String[] words = str.trim().split(" ");//把一行的数据，分割为单个的数据的数组  
            int length = words.length; 
            //字符串还需要转为int，或者其他的类型
            int[] params = new int[length];
            for (int i = 0;i<length;i++){ 
                 if ("".equals(words[i]) || "\\n".equals(words[i])) continue;  
                 params[i] = Integer.parseInt(words[i]);
            }
            //调用需要测试的函数
            int[] array = sortHeap(params);
            //打印结果
            for(int i : array){
                System.out.print(i+" ");
            }
          } 
        
    }

}

 图片和内容参考：http://www.cnblogs.com/mengdd/archive/2012/11/30/2796845.html