使用中国剩余定理CRT对RSA运算进行加速

Posted 2023-02-27

参考技术A 这篇讲一下如何使用 中国剩余定理CRT 来对RSA加密运算进行加速。

当我们使用RSA私钥(n,d)对密文c进行解密(或者计算数字签名时)，我们需要计算模幂 。私钥指数 并不像公钥指数 那样方便。一个k比特的模n，对应的私钥指数d差不多跟它一样长。计算的工作量同长度k成正比，所以对于RSA私钥的运算，有更多的计算量。

我们可以使用CRT模式更有效的计算

表示模逆，表达式 y也会写成 。x是任意整数满足 。 。

我们把 作为私钥保存。

下面需要了解两个数论的原理，分别是中国剩余定义的一个特殊情况和欧拉定理。

中国剩余定理的特殊情况可以表述如下：

欧拉定理是费马小定理(Fermat's Little Theorem)的推广，也称作欧拉-费马定理(Euler-Fermat Theorem)。

一个质数p，

我们需要计算 。如果我们知道 那么CRT告诉我们存在唯一的值 在范围[0,n-1]。

使用CRT表示方法 恢复出x，我们使用Garner's方程式。

计算 ，可以使用欧拉定理来减少指数d modulo (p-1):

对于q使用相同的算法。