博弈练习

Posted 2020-08-09 yyjxx2010xyu

1.有N（N<=1000）个贪婪的海盗，他们得到了100,000个金币，决定分赃。他们都很精明，都想自己利益最大化，并采取如下策略： 1、 首先N人排好次序。 2、 由编号最大者给出分赃方案。 3、 所有人表决，50%及以上的人赞成就分赃成功，否则转4。 4、 杀掉提案者（总人数少了1），转2。  你的任务：判断第几号海盗得最多金币，有多少个。

Sol：有n个人的策略都源于有n-1个人的策略,即这个人的获利比n-1的时候获利高，就会赞成

n=1 1:100000

n=2 1:0 2:100000

n=3 1:1 2:0 3:99999

n=4 1:0 2:1 3:0 4:99999

n=5 1:1 2:0 3:1 4:0 5:99998

................ 

找规律可得答案为n 100000-(n-1)/2

2.Stan和Ollie在玩一个乘法游戏。游戏的每一轮需要将2~9中的某一个数字和已得的数p乘起来。Stan总是从p=1开始乘，然后是Ollie，轮流。在开始前他们约定，首次使p>=N（1 < N < = 1000000）的人获胜。假定每人都采取最优策略。

Sol:某个人取到n/9>p时就赢了，那么为了n/(2*9)<p<n/9是另一个一个人赢，会发现以18为周期小于9，大于9讨论即可.

3.有N（1<=N<=100）堆石子，每堆个数给定A1..AN（1<=Ai<=2,147,483,647），现有甲乙两人轮流取石子，由甲开始，每次选一堆，取走一定数目石子，1到Ai的一半取下整，如Ai=5时，可取1或2，Ai=6时，可取1或2或3，但Ai=1不能取。不能取者负，求甲是否获胜。假定每人都采取最优策略。 Hint：只需算出每堆石子的SG值g(i)，再按照Nim游戏方案进行计算。

Sol:先后暴力找到SG函数，然后找规律

　　  if (x%4==0) return x/2;

    if (x%4==2) return x/2;

    if (x%4==1) return x/4;

    if (x%4==3) return Sg(x/2);

4.他们规定在一个有向无环图上有N个棋子，参赛者可以将一个棋子沿着边的方向进行移动，但是一次只可以移动一步，到棋子都移动到出度为0的顶点时就不能再移动，此时无棋可走的参赛者就算输。假若参赛双方都足够聪明，当然，都没有机房Master 绅士LJ 聪明，请问无耻的peter是否存在必胜策略。

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cstdio>
 4 #include <algorithm>
 5 using namespace std;
 6 const int Maxn=200100;
 7 const int Maxm=1000010;
 8 struct EDGE {int to,next;}edge[Maxm<<1];
 9 int head[Maxn],Sum,n,x,cnt,Sg[Maxn],t;
10 bool vis[Maxn],H[Maxn];
11 inline void Add(int u,int v) 
12 {edge[cnt].to=v;edge[cnt].next=head[u];head[u]=cnt++;}
13 void Dfs(int u)
14 {
15     vis[u]=true;
16     int Cnt=0;
17     for (int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next) Cnt++;
18     for (int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
19         if (!vis[edge[i].to]) Dfs(edge[i].to); 
20     for (int i=0;i<=Cnt;i++) H[i]=false;
21     for (int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
22         if (Sg[edge[i].to]<=Cnt) H[Sg[edge[i].to]]=true;
23     for (int i=0;i<=Cnt;i++)
24         if (!H[i])
25         {
26             Sg[u]=i;
27             return;
28         }   
29 }
30 int main()
31 {
32     // freopen("c.in","r",stdin);
33     scanf("%d",&n);
34     memset(head,-1,sizeof(head));
35     for (int i=0;i<n;i++)
36     {
37         scanf("%d",&Sum);
38         for (int j=1;j<=Sum;j++)
39         {
40             scanf("%d",&x);
41             Add(i,x);
42         }
43     }
44     memset(vis,false,sizeof(vis));
45     for (int i=0;i<n;i++)
46         if (!vis[i]) Dfs(i);
47     while (scanf("%d",&t)!=EOF)
48     {
49         int Ans=0;
50         for (int i=1;i<=t;i++)
51         {
52             scanf("%d",&x); 
53             Ans=Ans^Sg[x];
54         }
55         if (Ans) puts("WIN"); else puts("LOSE");
56     }
57     return 0;
58 }

Sg