数学奥林匹克问题解答：目标2017高中数学联赛基础班-2作业题解答-2

Posted 2020-08-09 赵胤数学课

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1、已知 $f(x) = x^5 + ax^3 + bx + c\sqrt[3]{x} + 8$ (其中 $a, b, c\in\mathbf{R}$), 且 $f(-2) = 10$. 求 $f(2)$ 的值.

解答:

令 $g(x) = f(x) - 8$, 易证$g(x)$是奇函数.

因此有 $$g(-2) = f(-2) - 8 = 2\Rightarrow g(2) = -g(-2) = -2 \Rightarrow f(2) = g(2) + 8 = 6.$$

2、函数 $f(x)$ 具有如下性质: 对每个实数 $x$, 都有$$f(x) + f(x - 1) = x^2.$$ 如果 $f(19) = 94$, 那么 $f(94)$ 除以1000的余数是多少?

解答:

由题意可知 $$f(20) = 20^2 - f(19),$$ $$f(21) = 21^2 - f(20) = 21^2 - 20^2 + f(19),$$ $$f(22) = 22^2 - f(21) = 22^2 - 21^2 + 20^2 - f(19),$$ 以此类推可得 $$f(94) = 94^2 - 93^2 + 92^2 - 91^2 + \cdots + 20^2 - f(19) = 94 + 93 + \cdots + 21 + 400 - 94 = 4561.$$ 即 $f(94)$ 除以 $1000$ 余数为 $561$.

3、已知奇函数 $f(x)$ 在定义域 $(-1, 1)$ 内单调递减. 当 $m$ 取何值时, $f(1 - m ) + f\left(1 - m^2\right) < 0$ 成立?

解答:

首先求出 $m$ 取值范围: $$\begin{cases}-1 < 1-m < 1\\ -1 < 1-m^2 < 1 \end{cases}\Rightarrow 0 < m < \sqrt2.$$ 因此有 $$f(1-m^2) < - f(1 - m) = f(m-1) \Rightarrow 1 - m^2 > m - 1 \Rightarrow -2 < m < 1.$$ 综上, $m\in(0, 1)$ 即为所求.

4、当 $x\in[-1, 1]$ 时, 求函数$$f(x) = {x^4 + 4x^3 + 17x^2 + 26x + 106 \over x^2 + 2x + 7}$$的值域.

解答: $$f(x) = x^2 + 2x + 7 + {64 \over x^2 + 2x + 7} - 1.$$ 令 $t=x^2 + 2x + 7 = (x + 1)^2 + 6 \Rightarrow t\in[6, 10]$.

而 $g(t) = t + \displaystyle{64 \over t} - 1$ 在 $[6, 8]$ 递减, 在 $[8, 10]$ 递增, 且 $$g(6) = {47\over3}, g(8) = 15, g(10) = {77 \over 5}.$$

因此 $f(x)$ 值域为 $$\left[15, {47\over3}\right].$$

5、设 $x, y, z, a, b, c, r > 0$. 证明: $${x + y + a + b \over x+ y + a + b + c + r} + {y + z + b + c \over y + z + a + b + c} > {x + z + a + c \over x + z + a + b + c + r}.$$ 证明：$${x + y + a + b \over x+ y + a + b + c + r} + {y + z + b + c \over y + z + a + b + c + r}$$ $$> {x + y + a + b \over x + y + z + a + b + c + r} + {y + z + b + c \over x + y + z + a + b + c + r}$$ $$= {x + 2y + z + a + 2b + c \over x + y + z + a + b + c + r} > {x + y + z + a + c \over x + y + z + a + b + c + r} > {x + z + a + c \over x + z + a + b + c + r}$$ 最后一个不等式成立的依据是, 对于函数 $$f(x) = {x \over x+t} = 1 - {t \over x+t},\ (t>0)$$在 $(-t, +\infty)$ 上单调递增.

Q.E.D.

6、设函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0, +\infty)$, 且单调递增, 满足 $f(2) = 1$, $f(xy) = f(x) + f(y)$.

a. 证明: $f(1) = 0$.

b. 求 $f(4)$.

c. 若 $f(x) + f(x - 3) \le 2$, 求 $x$ 的范围.

解答:

a. 令 $x = y = 1$, 易得 $f(1) = f(1) + f(1) \Rightarrow f(1) = 0$.

b. 令 $x = y = 2$, 易得 $f(4) = f(2) + f(2) = 2$.

c. $$f(x) + f(x - 3) \le 2 = f(4) \Rightarrow \begin{cases}x > 0\\ x - 3 > 0\\ x^2 - 3x \le 2\end{cases}\Rightarrow 3 < x \le 4.$$

7、已知 $a$ 为非零常数.

a. 若 $f(x + a) = \displaystyle{1 - f(x) \over 1 + f(x)}$, 则 $f(x)$ 为周期函数.

b. 若$f(x + a) = \displaystyle{1 + f(x) \over 1 - f(x)}$, 则$f(x)$为周期函数.