数学优化问题(最优化问题)

Posted 2023-02-20

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  数学优化（Mathematical Optimization）问题，也叫最优化问题，是指在一定约束条件下，求解一个目标函数的最大值（或最小值）问题。
  数学优化问题的定义为：给定一个目标函数（也叫代价函数） f : A → R ，寻找一个变量（也叫参数） x ^∗ ∈ D ，使得对于所有 D 中的 x ， f(x ^∗ ) ≤ f(x) （最小化）；或者 f(x ^∗ ) ≥ f(x) （最大化），其中 D 为变量 x 的约束集，也叫可行域； D 中的变量被称为是可行解。

  根据输入变量 x 的值域是否为实数域，数学优化问题可以分为离散优化问题和连续优化问题。

  离散优化（Discrete Optimization）问题是目标函数的输入变量为离散变量，比如为整数或有限集合中的元素。连续优化（Continuous Optimization）问题是目标函数的输入变量为连续变量 x ∈ R ^d ，即目标函数为实函数。离散优化问题主要有两个分支：

  离散优化问题的求解一般都比较困难，优化算法的复杂度都比较高。后面的内容主要以连续优化为主。

  在连续优化问题中，根据是否有变量的约束条件，可以将优化问题分为无约束优化问题和约束优化问题。
   无约束优化问题（Unconstrained Optimization） 的可行域为整个实数域 D = R ^d ，可以写为
其中 x ∈ R ^d 为输入变量， f : R ^d → R 为目标函数。
   约束优化问题（Constrained Optimization） 中变量 x 需要满足一些等式或不等式的约束。约束优化问题通常使用拉格朗日乘数法来进行求解。

  如果目标函数和所有的约束函数都为线性函数，则该问题为 线性规划问题（Linear Programming） 。相反，如果目标函数或任何一个约束函数为非线性函数，则该问题为 非线性规划问题（Nonlinear Programming） 。
  在非线性优化问题中，有一类比较特殊的问题是 凸优化问题（Convex Programming） 。在凸优化问题中，变量 x 的可行域为凸集，即对于集合中任意两点，它们的连线全部位于在集合内部。目标函数 f 也必须为凸函数，即满足
  凸优化问题是一种特殊的约束优化问题，需满足目标函数为凸函数，并且等式约束函数为线性函数，不等式约束函数为凹函数。

   优化问题 一般都是通过 迭代 的方式来求解：通过猜测一个初始的估计 x ₀ ，然后不断迭代产生新的估计 x ₁ , x ₂ , · · · x _t ，希望 x _t 最终收敛到期望的最优解 x ^∗ 。一个好的优化算法应该是在 一定的时间或空间复杂度下能够快速准确地找到最优解。同时，好的优化算法受初始猜测点的影响较小，通过迭代能稳定地找到最优解 x ^∗ 的邻域，然后迅速收敛于 x ^∗ 。
  优化算法中常用的迭代方法有 线性搜索和置信域方法 等。线性搜索的策略是寻找方向和步长，具体算法有梯度下降法、牛顿法、共轭梯度法等。

  对于很多非线性优化问题，会存在若干个局部的极小值。局部最小值，或局部最优解 x ^∗ 定义为：存在一个δ > 0，对于所有的满足|| x − x∗|| ≤ δ 的 x ，公式 f(x ^∗ ) ≤ f(x) 成立。也就是说，在 x ^∗ 的附近区域内，所有的函数值都大于或者等于 f(x ^∗ ) 。对于所有的 x ∈ A ，都有 f(x∗) ≤ f(x) 成立，则 x ^∗ 为全局最小值，或全局最优解。一般的，求局部最优解是容易的，但很难保证其为全局最优解。 对于线性规划或凸优化问题，局部最优解就是全局最优解 。