图的最小切隔问题Minimum Cuts

Posted 2020-08-09

前提条件是这样的：输入一个图（可以是有向图，也可以是无向图，允许平行边存在），我们要做的事情是将这个图切割成两个子图，（切割的定义：将图中的所有顶点分为两个集合A和B，要求这两个集合非空）假设这个图中的顶点数为n，边的条数为m，这样一来就总共有2的n次方减2种切割方案，（每个顶点有两种选择，要么选集合A，要么选集合B，同时保证两个集合非空），要找到一种切割方案，使得切割经过的边最少（仅仅指从左边的集合A到右边的集合B的边，忽略有向图中从右边到左边的边）

这就引入了一种算法，叫Rand Contraction算法，这个算法的核心是一个while循环

只要图中的顶点数大于2，就进入循环

1，随机选择图中的一条边，假设边的两个顶点为u和v

2，将这两个顶点u和v融合成一个单独的顶点

3，如果有自循环，就删除掉

最后循环体外，按照只剩下两个顶点的情况进行切割

直接看例子：

其中红线圈表示每次while循环迭代选择的边，该例子中此种切割方案经过的边最少，为2

下面我们来看另外一种切割方案

 

在第二次迭代的时候，我们选择了一条不同的边，这样我们就得到了不同的结果，毫无疑问，这种切割方案并不是最优的

很多情况下，最优的切割方案并不是只有一种，例如二叉树，切割任意一条边都是最优的切割方案，还有没有对角线的多边形

事实上这种算法成功的概率，（我指的是直接找到的是最小切割方案，忽略其它不是最优切割方案的情况），仅仅是大于等于1/n的平方，这是经过数学证明的

尽管如此，这个算法仍然是有用的。