二分图匹配--匈牙利算法
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了二分图匹配--匈牙利算法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
二分图匹配--匈牙利算法
基本定义:
二分图 —— 对于无向图G=(V,E),如果存在一个划分使V中的顶点分为两个互不相交的子集,且每个子集中任意两点间不存在边 ?∈E,则称图G为一个二分图。
二分图的充要条件是,G至少有两个顶点,且所有回路长度为偶数。
匹配 —— 边的集合,其中任意两条边都不存在公共顶点。
匹配边即是匹配中的元素,匹配点是匹配边的顶点,同样非匹配边,非匹配点相反定义。
最大匹配——在图的所有匹配中,包含最多边的匹配成为最大匹配
完美匹配——如果在一个匹配中所有的点都是匹配点,那么该匹配称为完美匹配。
附注:所有的完美匹配都是最大匹配,最大匹配不一定是完美匹配。假设完美匹配不是最大匹配,那么最大匹配一定存在不属于完美匹配中的边,而图的所有顶点都在完美匹配中,不可能找到更多的边,所以假设不成立,及完美匹配一定是最大匹配。
交替路——从一个未匹配点出发,依次经过非匹配边,匹配边,非匹配边…形成的路径称为交替路,交替路不会形成环。
增广路——起点和终点都是未匹配点的交替路。
因为交替路是非匹配边、匹配边交替出现的,而增广路两端节点都是非匹配点,所以增广路一定有奇数条边。而且增广路中的节点(除去两端节点)都是匹配点,所属的匹配边都在增广路径上,没有其他相连的匹配边,因此如果把增广路径中的匹配边和非匹配边的“身份”交换,就可以获得一个更大的匹配(该过程称为改进匹配)。
示例图
注释:
Fig3是一个二分图G=(V,E),V={1,2,3,4,5,6,7,8},E={(1,7),(1,5),(2,6),(3,5),(3,8),(4,5),(4,6)},该图可以重绘成Fig4,V可分成两个子集V={V1,V2},V1={1,2,3,4},V2={5,6,7,8}。
Fig4中的红色边集合就是一个匹配{(1,5),(4,6),(3,8)}
Fig2中是最大匹配
Fig1中红色边集合是完美匹配
Fig1中交替路举例(4-6-2-7-1-5)
Fig4中增广路(2-6-4-5-1-7)
匈牙利树
匈牙利树中从根节点到叶节点的路径均是交替路,且匈牙利树的叶节点都是匹配点。
匈牙利算法
求解最大匹配的算法,通过不断的寻找增广路径,并将增广路径进行改进匹配,直至找不到更多的增广路径。
二分图的最大匹配可以通过匈牙利树的搜索寻找增广路径来获得,而树的搜索可以使用深度优先搜索(DFS)或者广度优先搜索(BFS)
下面使用matlab代码实现DFS和BFS下的匈牙利算法:
- function Hungarian(c1, m, IsDraw)
- % 匈牙利算法寻找无向二分图的最大匹配
- % inputs:
- % -AdjTable 顶点元素的邻接表,cell结构,每一个元素是一个一维数组,
- % 保存对应节点的邻接节点编号
- % -c1 第一个顶点子集元素个数
- % -m 搜索方法,‘B‘是广度优先搜索,‘D’是深度优先搜索
- % -IsDraw 是否绘图
-
- if nargin<2
- m=‘B‘;
- IsDraw=0;
- elseif nargin<3
- IsDraw=0;
- end
-
- global MatTable Check AdjTable
- % -MatTable 匹配表,长度为顶点个数,每个元素存放该节点所在匹配边的另一端节点
- % 的编号;如果是非匹配点,则对应值为0
- cn=length(AdjTable);%顶点个数
- MatTable=zeros(1,cn);% 默认都是未匹配点
- Check = zeros(1,cn); % 覆盖过的点不能再访问,否则死循环
-
- EdgesNum=0;% 最大匹配中元素个数
- if m==‘D‘ % 深度优先搜索
- if c1<cn-c1
- for i=1:c1
- if DFS(i)
- EdgesNum=EdgesNum+1;
- end
- end
- else
- for j=c1+1:cn
- if DFS(j)
- EdgesNum=EdgesNum+1;
- end
- end
- end
- else % 广度优先搜索
- EdgesNum = BFS(c1);
- end
- fprintf(‘There is %f edges in the biggest matches.\n‘,EdgesNum);
- if IsDraw
- c2=cn-c1;
- X1=ones(c1,1)*40;
- Y1=20:10:c1*10+19;
- X2=ones(c2,1)*100;
- Y2=20:10:c2*10+19;
- X=[X1;X2];
- Y=[Y1‘;Y2‘];
- color={‘ro:‘,‘ko:‘};
- for i=1:cn
- if MatTable(i)~=0
- plot(X(i),Y(i),color{1},‘MarkerSize‘,15);hold on
- if i<=c1
- text(X(i)-3,Y(i),num2str(i));
- else
- text(X(i)+3,Y(i),num2str(i));
- end
- else
- plot(X(i),Y(i),color{2},‘MarkerSize‘,15);hold on
- if i<c1
- text(X(i)-3,Y(i),num2str(i));
- else
- text(X(i)+3,Y(i),num2str(i));
- end
- end
- end
- for i=1:cn
- for j=1:length(AdjTable{i})
- if MatTable(i)==AdjTable{i}(j)
- plot(X([i,AdjTable{i}(j)]),Y([i,AdjTable{i}(j)]),‘r.-‘,‘LineWidth‘,2);hold on
- else
- plot(X([i,AdjTable{i}(j)]),Y([i,AdjTable{i}(j)]),‘k.-‘,‘LineWidth‘,2);hold on
- end
- end
- end
- box(‘on‘)
- axis off
- hold off
-
- end
-
-
- end
- % AdjTable 邻接表
- % MatTable 匹配表
- function bool=DFS(u)
- % n 是左侧未匹配点的编号
- % 寻找节点n的一条未匹配边
- global AdjTable MatTable Check
- for i=1:length(AdjTable{u})
- v=AdjTable{u}(i);
- if ~Check(v)
- Check(v)=1;
- if MatTable(v) == 0|| DFS(MatTable(v))
- %v是未匹配点则找到增广路径,交换身份
- %否则,如果v的匹配点存在增广路径,
- %那么也是找到一条增广路径
- % || 是短路运算符
- MatTable(u) = v;
- MatTable(v) = u;
- bool=1;
- return;
- end
- end
- end
- bool=0;
- end
-
- function EdgeNum=BFS(c1)
- global AdjTable MatTable Check
- pre = zeros(length(AdjTable))-1;
- % 存放的是该点所在的非匹配边的前一个非匹配边的右端端点编号
- queue=[];% 广度优先搜索需要的搜索队列
- EdgeNum=0;%最大匹配元素个数
- for i=1:c1
- if ~MatTable(i) % 寻找未匹配点
- queue=[i];%入队列
- flag = 0; % 未找到增广路径
- pre(i)=-1; % 为了最后改进路径时设定终点
- while(~isempty(queue)&&~flag)
- u=queue(1);
- queue(1)=[];%出队列
- edges=AdjTable{u};
- for j=1:length(edges)
- v = edges(j);
- if ~flag && Check(v)~=i
- Check(v)=i;
- queue=[queue,MatTable(v)];
- %找到一条匹配路,将匹配路的右端节点放入队列
- if MatTable(v) % 非增广路
- pre(MatTable(v))=u;
- %下一条非匹配边的起点对应前一条非匹配边的起点
- else % 找到增广路径
- flag=1;
- d=u;
- e=v;
- while d~=-1
- t = MatTable(d);
- MatTable(d)=e;
- MatTable(e)=d;
- d = pre(d);
- e = t;
- end
- end
- end
- end
- end
- end
- if MatTable(i)~=0 %表示找到增广路径了,此时起点肯定在匹配边上
- EdgeNum=EdgeNum+1;
- end
- end
- end
-
-
- function testHungarian
- c1=5;
- c2=5;
- % AdjMatrix=randi(2,c1,c2)-1;
- t=0.7;
- AdjMatrix=rand(c1,c2)>t;
- % AdjMatrix=ones(c1,c2);
- global AdjTable
- AdjTable = cell(c1+c2,1);
- for i=1:c1
- t=find(AdjMatrix(i,:)~=0);
- AdjTable{i}=c1+t;
- end
- for j=1:c2
- t=find(AdjMatrix(:,j)~=0);
- AdjTable{c1+j}=t;
- end
-
- Hungarian(c1,‘B‘,1);
- end
-
分析:
参考的blog中指出算法的时间复杂度为,实际应用中使用BFS的算法比DFS算法更快,但是在matlab代码中,发现使用DFS算法的搜索比BFS算法搜索的速度快不少,尤其是顶点和边数比较大的情形。
以上是关于二分图匹配--匈牙利算法的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章