递归算法及经典递归例子代码实现

Posted 2020-08-09 朝阳的向日葵

1. 递归概述

递归（ recursion）是一种编程技巧，某些情况下，甚至是无可替代的技巧。

递归可以大幅简化代码，看起来非常简洁，但递归设计却非常抽象，不容易掌握。通常，我们都是自上而下的思考问题， 递归则是自下而上的解决问题——这就是递归看起来不够直观的原因。那么，究竟什么是递归呢？让我们先从生活中找一个栗子。
我们都有在黑暗的放映厅里找座位的经验：问问前排的朋友坐的是第几排，加上一，就是自己当前所处位置的排号。如果前排的朋友不知道自己是第几排，他可以用同样的方法得到自己的排号，然后再告诉你。如果前排的前排的朋友也不知道自己是第几排，他就如法炮制。这样的推导，不会无限制地进行下去，因为问到第一排的时候，坐在第一排的朋友一定会直接给出答案的。这就是递归算法在生活中的应用实例。
关于递归，不太严谨的定义是“一个函数在运行时直接或间接地调用了自身”。严谨一点的话，一个递归函数必须满足下面两个条件：

至少有一个明确的递归结束条件，我们称之为递归出口，也有人喜欢把该条件叫做递归基。
有向递归出口方向靠近的直接或间接的自身调用（也被称作递归调用）。

递归虽然晦涩，亦有规律可循。掌握了基本的递归理论，才有可能将其应用于复杂的算法设计中

2. 线性递归

我们先从最经典的两个递归算法开始——阶乘（factorial）和斐波那契数列（Fibonacci sequence）。几乎所有讨论递归算法的话题，都是从从它们开始的。阶乘的概念比较简单，唯一需要说明的是，0的阶乘是1而非0。为此，我专门请教了我的女儿，她是数学专业的学生。斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列是这样定义的：

F(0)=1，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N，N为正整数集）

阶乘和斐波那契数列的递归算法如下：

def factorial(n):
    if n == 0: # 递归出口
        return 1
    return n*factorial(n-1) # 向递归出口方向靠近的自身调用

def fibonacci(n):
    if n < 2: # 递归出口
        return 1
    return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2) # 向递归出口方向靠近的自身调用

这两个函数的结构都非常简单，递归出口和自身调用清晰明了，

但二者有一个显著的区别：阶乘函数中，只用一次自身调用，而斐波那契函数则有两次自身调用。
阶乘递归函数每一层的递归对自身的调用只有一次，因此每一层次上至多只有一个实例，且它们构成一个线性的次序关系。此类递归模式称作“线性递归”，这是递归最基本形式。非线性递归（比如斐波那契递归函数）在每一层上都会产生两个实例，时间复杂度为O(n**2），极易导致堆栈溢出。
其实，用循环的方法同样可以简洁地写出上面两个函数。的确，很多情况下，递归能够解决的问题，循环也可以做到。但是，更多的情况下，循环是无法取代递归的。因此，深入研究递归理论是非常有必要的。

3. 尾递归

接下来，我们将上面的阶乘递归函数改造一下，仍然用递归的方式实现。为了便于比较，我们把两种算法放在一起。

def factorial_A(n):
    if n == 0: # 递归出口
        return 1
    return n*factorial_A(n-1) # 向递归出口方向靠近的自身调用

def factorial_B(n, k=1):
    if n == 0: # 递归出口
        return k
    k *= n
    n -= 1
    return factorial_B(n,k) # 向递归出口方向靠近的自身调用

比较 factorial_A() 和 factorial_B() 的写法，就会发现很有意思的问题。

factorial_A() 的自身调用属于表达式的一部分，这意味着自身调用不是函数的最后一步，而是拿到自身调用的结果后，需要再做一次乘法运算；

factorial_B() 的自身调用则是函数的最后一步。像 factorial_B() 函数这样，当自身调用是整个函数体中最后执行的语句，且它的返回值不属于表达式的一部分时，这个递归调用就是尾递归（Tail Recursion）。尾递归函数的特点是在回归过程中不用做任何操作，这个特性很重要，因为大多数现代的编译器会利用这种特点自动生成优化的代码。

分别使用 factorial_A() 和 factorial_B() 计算5的阶乘，下图所示的计算过程，清晰展示了尾递归的优势：不用花费大量的栈空间来保存上次递归中的参数、局部变量等，这是因为上次递归操作结束后，已经将之前的数据计算出来，传递给当前的递归函数，这样上次递归中的局部变量和参数等就会被删除，释放空间，从而不会造成栈溢出

factorial_A(5)
5 * factorial_A(4)
5 * 4 * factorial_A(3)
5 * 4 * 3 * factorial_A(2)
5 * 4 * 3 * 2 * factorial_A(1)
5 * 4 * 3 * 2 * 1 * factorial_A(0)
5 * 4 * 3 * 2 * 1
5 * 4 * 3 * 2
5 * 4 * 6
5 * 24
120

factorial_B(5, k=1)
factorial_B(4, k=5)
factorial_B(3, k=20)
factorial_B(2, k=60)
factorial_B(1, k=120)
factorial_B(0, k=120)
120

4.单向递归

前文中两个递归函数，不管是阶乘还是斐波那契数列，递归总是向着递归出口方向进行，没有分支，没有反复，这样的递归，我们称之为单向递归。在文件递归遍历等应用场合，搜索完一个文件夹，通常要返回至父级目录，继续搜索其他兄弟文件夹，这个过程就不是单向的，而是有分叉的、带回溯的。通常复杂递归都不是单向的，算法设计起来就比较困难

import os

def ergodic(folder):
    for root, dirs, files in os.walk(folder):
        for dir_name in dirs:
            print(os.path.join(root, dir_name))
        for file_name in files:
            print(os.path.join(root, file_name))

上面是借助于 os 模块的 walk() 实现的基于循环的文件遍历方法。虽然是循环结构，如果不熟悉 walk() 的话，这个函数看起来还是很不直观。我更喜欢下面的递归遍历方法。

import os

def ergodic(folder):
    for item in os.listdir(folder):
        obj = os.path.join(folder, item)
        print(obj)
        if os.path.isdir(obj):
            ergodic(obj)

5.深度优先与广度优先

遍历文件通常有两种策略：深度优先搜索 DFS（depth-first search） 和广度优先搜索BFS（breadth-first search） 。顾名思义，深度优先就是优先处理本级文件夹中的子文件夹，递归向纵深发展；广度优先就是优先处理本级文件夹中的文件，递归向水平方向发展。

import os

def ergodic_DFS(folder):
    """基于深度优先的文件遍历"""
    
    dirs, files = list(), list()
    for item in os.listdir(folder):
        if os.path.isdir(os.path.join(folder, item)):
            dirs.append(item)
        else:
            files.append(item)
    
    for dir_name in dirs:
        ergodic(os.path.join(folder, dir_name))
    for file_name  in files
        print(os.path.join(folder, file_name))

def ergodic_BFS(folder):
    """基于广度优先的文件遍历"""
    
    dirs, files = list(), list()
    for item in os.listdir(folder):
        if os.path.isdir(os.path.join(folder, item)):
            dirs.append(item)
        else:
            files.append(item)
    
    for file_name  in files
        print(os.path.join(folder, file_name))
    for dir_name in dirs:
        ergodic(os.path.join(folder, dir_name))