完美子图（这道题太难了，得写下来要不回头又忘了）

Posted 2020-12-17 liu-yi-tong

题目大意:

给你一个n×n的图，向其中放n个点，求其中有几个“完美子图”。

完美子图的定义是：一个m×m的图（1<=m<=n），其中含有m个点，这样的子图叫完美子图。

已知：在原图中每一行每一列都只有一个点。

分析：

1.对于此类“n×n的图中有n个点且每一行每一列只有一个点”的问题，我们一般可以把二维的图拍扁成一维的区间问题，这道题的一维化转化为：m×m图里面有m个点————>l到r的连续区间内，最大列数减去最小列数等于最大行数减最小行数，同时由于区间是连续的，所以转化为最大行数减去最小行数等于r-l+1。

得出的公式为Max[r,l]-Min[r,l]=r-l，在满足这个条件的前提下，可以看作多增了一个完美子图。

why？

我们可以这样想，一个m×m图内有m个点，且满足上面那个同列同行只有一点的条件，那么在l到l+m-1这个区间里面，最大的行数一定是正方形的下边界，最小行数一定是正方形的上边界，l是左边界，l+m-1是右边界，显然可得上面的推论。

处理方法:

我们可以在输入的时候，定义一个a数组，保存每一列上第几行有点，方便之后处理。

2.这道题已经被我们转化到区间问题了，在区间dp没有明显的状态阶段时候，我们可以考虑到用线段树来维护，啊不，线段树的祖宗：分治思想。

（当然这道题肯定用线段树是可以的啊）

分治思想就是把一个大问题分成几个类型相同的递归子问题，在这里我们就可以：

void Fenzhi(int l,int r){
    if(l==r){
        ans++;
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    Fenzhi(l,mid);Fenzhi(mid+1,r);
}

根据题目条件，我们可以知道，1×1的格子，只要有点就是完美子图，而且正巧我们的图中保证每一列必然存在一个点，所以终止条件如上。

3.这里的分治时候把l，r分为了两个区间，我们无需处理那两个小区间以内的完美子图数量了，因为它是递归子问题，我们需要处理的是区间横跨两个小区间的完美子图们。

例如：l=1,r=5,mid=3。假设1到2，3到4都有一个完美子图，我们在递归处理时候，1，2这个区间就包括在子问题里了，我们需要处理的是3到4的图。

那么如何处理呢？

4.我们定义一些变量：

i：目前处理区间的左端点。

j：目前处理区间的右端点。

Min[x]：x点到mid的区间内的最小值。

Max[x]：x点到mid的区间内的最大值。

对于一段区间（i到j），我们会出现下面四种情况：

1.区间的最大值与最小值都在mid左侧。

　　　　　　Max

　　　　　　　↓

l————i————————mid————————j——————r

　　　　　　　　　　↑　　　　　　　　

　　　　　　　　　　Min

如果这个时候Max-Min=j-i;

根据上面的推论我们可以知道，i到j的区间是一个完美子图。

我们该如何表示这种情况呢？

显然为Max[i]-Max[j]==j-i。（因为Max，Min都在mid左侧，即Max=Max[i]; Min=Min[i]）；

if(Max[i]-Min[i]==j-i&&Max[i]>Max[j]&&Min[i]<Min[j])ans++;

当然，因为区间[i,j]的Min,Max都在i到mid一侧，所以必须满足上面的那几个条件，可以自己推一下。

2.区间的最大值与最小值都在mid右侧。

这种情况与上一种类似，就不多赘述了。

if(Max[j]-Min[j]==j-i&&Max[j]>Max[i]&&Min[j]<Min[i])ans++;

3.区间最小值在mid左侧，区间最大值在mid右侧

　　　　　　Min

　　　　　　↓

l————i————mid—————j———r

　　　　　　　　　　　　↑

　　　　　　　　　　　　Max

那么根据类似上面的推法，这种状态的满足条件就是Max[j]-Max[i]=j-i;

if(Max[j]-Min[i]==j-i&&Max[j]>Max[i]&&Min[j]>Min[i])ans++;

当然Max在右侧，那么必须保证Max[j]>Max[i],Min也一样。

4.区间最大值在mid左侧，区间最小值在mid右侧。

也是与上一种类似：

if(Max[i]-Min[j]==j-i&&Max[j]<Max[i]&&Min[j]<Min[i])ans++;

分析到这里，代码也就呼之欲出了，附上代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=50010;
int n,Max[maxn],Min[maxn],a[maxn];
int ans=0,Xiao,Da;
void Fenzhi(int l,int r){
    if(l==r){
        ans++;
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    Fenzhi(l,mid);Fenzhi(mid+1,r);
    Min[mid]=a[mid];Max[mid]=a[mid];
    Max[mid+1]=a[mid+1];Min[mid+1]=a[mid+1];
    Xiao=a[mid];Da=a[mid];
    for(int i=mid-1;i>=l;i--){
        Min[i]=min(Xiao,a[i]);
        Max[i]=max(Da,a[i]);
        Xiao=min(Xiao,Min[i]);
        Da=max(Da,Max[i]);
    }
    Xiao=a[mid+1];Da=a[mid+1];
    for(int i=mid+2;i<=r;i++){
        Min[i]=min(Xiao,a[i]);
        Max[i]=max(Da,a[i]);
        Da=max(Max[i],Da);
        Xiao=min(Min[i],Xiao);
    }
    for(int i=mid;i>=l;i--){
        for(int j=mid+1;j<=r;j++){
            if(Max[i]-Min[j]==j-i&&Max[j]<Max[i]&&Min[j]<Min[i])ans++;
            if(Max[j]-Min[i]==j-i&&Max[j]>Max[i]&&Min[j]>Min[i])ans++;
            if(Max[i]-Min[i]==j-i&&Max[i]>Max[j]&&Min[i]<Min[j])ans++;
            if(Max[j]-Min[j]==j-i&&Max[j]>Max[i]&&Min[j]<Min[i])ans++;
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        a[x]=y;
    }
    Fenzhi(1,n);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

这样就完了吗？当然没有。

因为这道题的n是<50000的，所以这种n方效率的肯定是过不了的，至少要优化到nlogn。

想一想我们在哪里可以优化呢。

我们注意到，主要的时间复杂度位于那个“4种情况”的位置，我们枚举每一个左端点，再枚举每一个右端点，导致了n方的效率，我们需要对此加以优化。

1、对于1、2两种情况：

我们枚举每一个左端点i时，根据（Max[i]-Min[i]=j-i），我们可以直接推出j！这样，处理这两种情况的时候的效率就变成了n。

    for(int i=mid;i>=l;i--){
        int j=i+Max[i]-Min[i];
        if(j>mid&&j<=r&&Max[j]<Max[i]&&Min[j]>Min[i])ans++;
    }
    //状态1：枚举左端点
    for(int j=mid+1;j<=r;j++){
        int i=j-Max[j]+Min[j];
        if(i>=l&&i<=mid&&Max[i]<Max[j]&&Min[i]>Min[j])ans++;
    }
    //状态2,枚举右端点

2.对于3、4两种情况：

好麻烦啊啊啊啊好难处理的对于这种情况我们可以（通过意念）找到一个单调性：

例如情况3：

公式变形：(j-i==Max[j]-Min[i]——>j-Max[j]=i-Min[i])

我们从mid到l枚举每一个左端点，我们知道在这个枚举顺序下（假设右端点不变），区间的Min只会变小或不变（这是显然吧！）

好，那么我们假设枚举到了某个i，我们就先固定住它，由它去更新右区间，如果右区间的Min[j]>Min[i]时，j++，同时记录cnt[j-Max[j]]++(当前的状态，后面用到)。直到不满足条件为止。

j向右枚举的时候跟i类似，也是只会变小或不变，那么只要有一个Min[j]<Min[i]这个j后面的点就一定也<Min[i]了。

同时，我们考虑到，左端点在左移时Min值只会变小，那么上一个左端点遍历的右端点们既然Min值都大于上一个左端点了，也一定大于这个新的左端点，这样右端点就不用再从头再遍历了，只要接着之前的右端点继续向后遍历就ok了。（通过这样把效率由n方改成了n）

但是！右端点满足Min值的关系显然还不够，还需要满足一对Max的关系，这样我们再跑一个k，如果某个j值满足Min值的关系但不满足Max值的关系，我们把上面的cnt值再--。

最后每跑完一个i，我们把ans+=cnt[i-Min[i]]。

此时cnt[i-Min[i]]保存的是所有与i-Min[i]相等的j-Max[j]所保存的cnt值，而当这两个相等时候，根据我们一开头对等式的变形，i到j就是一个完美子图了！

    int j=mid+1,k=mid+1;
    //注意这里i-Max[i]可能为负数，所以加上一个n，保证是正数
        for(int i=mid;i>=l;i--){
        while(Min[j]>Min[i]&&j<=r){
            cnt[j-Max[j]+n]++;j++;
        }
        while(Max[k]<Max[i]&&k<j){
            cnt[k-Max[k]+n]--;k++;
        }
        //注意当j跳出循环时，指向的是一个不满足条件的点，这里k更新的是满足Min条件的点，所以k<j
        ans+=cnt[i-Min[i]+n];
    }
    while(k<j){
        cnt[k-Max[k]+n]--;
        k++;
    } 
        //这里需要把cnt清零，方便之后使用，但不能memset，否则超时