回溯法

Posted 2020-08-03

回溯法(backtracking)：递归地构造和枚举可能的情况，同时排除不必要的枚举，检查所有可能的解，这就是回溯法的思路

如果让我来评价的话，这种思路真的是很简单很暴力。但是往往很有效。

一、经典模型：八皇后问题：

在棋盘上放置8个皇后，棋盘为8*8，使它们互不攻击，每个皇后的攻击范围为同行同列和同对角线，找出所有的解

思路：

1. 我们不能直接枚举所有可能的情况，因为直接枚举的解答树会有C⁸₆₄=4.426*10^9个节点，这是一定会爆的。
2. 既然同行同列都会攻击，那么我们可以用cur表示放置的行数，递归地放置0-7行，这样可以避免对行的枚举，如果放置成功，那么这一定是一个解
3. 估算计算量：如果说我们在不重复的行数放置皇后，那么计算量为8！=40320。这是可接受的
4. 实现：如果我们用二维数组C记录状态（condition），vis[][]数组记录被占用的列、主对角线（左上到右下）、副对角线（右上到左下），递归放置即可

实现如下：此代码找出并打印n皇后问题的解

 1 //找出并打印n皇后问题的解
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 int tot=0,n,vis[3][100],C[10];//tot为解得总数，n为皇后个数 ,C记录地图，下标为行数，数组内容为列数 
 5 
 6 void search(int cur){
 7     if(cur==n){
 8         tot++;
 9         printf("\\n");
10         for(int i=0;i<n;i++){
11             for(int j=0;j<n;j++)
12                 printf("%c ",j!=C[i]?‘*‘:‘Q‘);
13             printf("\\n");
14         }
15         printf("\\n");
16     }
17     else for(int i=0;i<n;i++){
18         if(!vis[0][i] && !vis[1][cur+i] && !vis[2][cur-i+n]){
19             C[cur]=i;
20             vis[0][i]=vis[1][cur+i]=vis[2][cur-i+n]=1;
21             search(cur+1);
22             C[cur]=i;
23             vis[0][i]=vis[1][cur+i]=vis[2][cur-i+n]=0;
24         }
25     }
26 }
27 int main(){
28     tot=0,scanf("%d",&n);
29     memset(vis,0,sizeof(vis));
30     memset(C,0,sizeof(C));
31     search(0);
32     printf("%d",tot);
33 }

如果只找出数目，不打印棋盘，实现如下

其中整个C数组都去掉了

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 int tot=0,n,vis[3][20];//tot为解得总数，n为皇后个数 ,C数组省去了 
 4 
 5 void search(int cur){
 6     if(cur==n)tot++;
 7     else for(int i=0;i<n;i++){
 8         if(!vis[0][i] && !vis[1][cur+i] && !vis[2][cur-i+n]){
 9             vis[0][i]=vis[1][cur+i]=vis[2][cur-i+n]=1;
10             search(cur+1);
11             vis[0][i]=vis[1][cur+i]=vis[2][cur-i+n]=0;
12         }
13     }
14 }
15 int main(){
16     tot=0,scanf("%d",&n);
17     memset(vis,0,sizeof(vis));
18     search(0);
19     printf("%d",tot);
20 }

 

二、素数环（UVa 524 PE了9次我去）：

题目简述：输入一个数字n，把1-n的组成一个环，要求相邻两个数字之和为素数，其中n满足（0<n<=16）, 输出从1开始，逆时针排列，每种环恰好输出一次

详细要求见传送门：UVa 524

思路：用回溯法，用数组a存储构造的字符串，vis数组记录构造的数字是否已经填入，用prime数组来打素数表，first用来判断输出格式，例如n==7时没有答案，Case语句不能输出

dfs实现如下：

1. 从第二个位置填数字
2. 如果cur==n，再判断最后一个数字和第一个数字的和能否构成素数，如果能，按指定格式输出。

实现如下：注意如何避免PE，下面的实现中有三处格式控制，防止PE

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cmath>
 3 int kase,n=20,prime[40],a[20],vis[20],first;//vis[i]记录 第i个数字是否被填在a数组中，first记录是否打印Case语句 
 4 bool isPrime(int x){
 5     if(x<2||(x%2==0)&&x!=2)return false;
 6     if(x==2||x==3||x==5)return true;
 7     for(int i=3,len=(int)sqrt(1.0*x)+1;i<=len;i++)
 8         if(x%i==0)return false;
 9     return true;
10 }
11 void dfs(int cur){
12     if(cur==n && prime[a[0]+a[n-1]]){//打印方案
13         if(first){
14             printf("Case %d:\\n",++kase);//这有格式 
15             first=0;//第一次打印 
16         } 
17         for(int i=0;i<n;i++){
18             printf("%d",a[i]);
19             printf("%c",i<n-1?‘ ‘:‘\\n‘);//这有格式 
20         }
21     }
22     else for(int i=2;i<=n;i++){//这里是因为第一个数字必须是1，所以 1 不变，填后面 
23         if(!vis[i] && prime[i+a[cur-1]]){
24             vis[i]=1;//设置标志
25             a[cur]=i;//把数字i填入到a[cur]中
26             dfs(cur+1);
27             vis[i]=0;//清除标志
28         }
29     }
30 }
31 int main(){
32     //初始化
33     for(int i=0;i<20;i++)a[i]=i+1;
34     for(int i=0;i<40;i++)prime[i]=isPrime(i);//打素数表
35     while(scanf("%d",&n)!=EOF){
36         first=1;
37         if(kase)puts("");//这里有格式 
38         dfs(1);//回溯法，这里不是0 
39     }
40 }

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