51NOD 1417 天堂里的游戏(列等式 解方程)

Posted 2020-08-02 ITAK

传送门
多年后，每当Noder看到吉普赛人，就会想起那个遥远的下午。

Noder躺在草地上漫无目的的张望，二楼的咖啡馆在日光下闪着亮，像是要进化成一颗巨大的咖啡豆。天气稍有些冷，但草还算暖和。不远的地方坐着一个吉普赛姑娘，手里拿着塔罗牌，带着耳机，边上是她的狗。狗看起来有点凶，姑娘却漂亮。Noder开始计算各种搭讪方式的成功概率，然而狗的存在……。

奇怪的事情发生了，姑娘自己走了过来，把耳机戴在Noder的耳朵上，里面播放着：“……Knock-knock-knockin’ on heaven’s door ……”。姑娘冲他诡异的一笑，Noder只觉得自己眼前一阵眩晕，然后就站在了天堂的门口。

正当Noder惊魂未定的时候，走来一个美女，要求和他一起玩个数学游戏。美女提议：“让我们各自亮出硬币的一面，或正或反。如果我们都是正面，那么我给你A元，如果我们都是反面，我给你B元（A + B为偶数）。剩下的情况你给我（A + B） / 2元就可以了。

Noder知道这个游戏他多半要输，可他并不在乎，他只想让自己输的慢一点。

那么你来帮美女计算一下，她选择出正面的概率应该是多少（以最简分数形式输出）？

当Noder输光了钱后从草地上醒来，吉普赛姑娘已经不见了，只留下了这样一张塔罗牌，上面印有那个美女的照片。

关于样例的解释：

美女采取了(3/8,5/8)这个方案，不论Noder采用什么方案，都是不能改变局面的。如果全部出正面，每次的期望收益是 (3+3+3-2-2-2-2-2)/8=-1/8元；如果全部出反面，每次的期望收益也是(-2-2-2+1+1+1+1+1)/8=-1/8元。而任何策略无非只是上面两种策略的线性组合，所以期望还是-1/8元。
Input
第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量（1 <= T <= 20)。
第2 - T + 1行：每行2个数A, B中间用空格分隔。(1 <= A, B <= 10^9，且A + B为偶数)。
Output
输出共T行，对应美女选择正面的概率，以最简分数形式输出，具体请参看输出样例。
Input示例
2
3 1
1 3
Output示例
3/8
5/8

解题思路：
需要注意的是不论你采取何种方案，所得的期望值是相同的。也就是说，当你选择正面的时候与你选择反面选择的期望是一样的。那么我们现在设美女选择证明的概率是 P，那么选择反面的概率就是 1-P,我们可以列一个方程：

$$P*A-(1-P)*\frac{A+B}{2} =(1-P)*B-P*\frac{A+B}{2}$$
通过这个方程解得：
$$P=\frac{A+3*B}{4*(A+B)}$$
输出就行了：

My Code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL gcd(LL m, LL n)
{
    if(n == 0)
        return m;
    return gcd(n,m%n);
}
int main()
{
   LL T, A, B;
   cin>>T;
   while(T--)
   {
       cin>>A>>B;
       LL sum=4*(A+B);
       LL ans=A+3*B;
       LL as=gcd(ans,sum);
       cout<<ans/as<<"/"<<sum/as<<endl;
   }
}