POJ1845 Sumdiv（求所有因数和+矩阵快速幂）

Posted 2020-06-13

题目问$A^B$的所有因数和。

根据唯一分解定理将A进行因式分解可得:A = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * pn^an.
A^B=p1^(a1*B)*p2^(a2*B)*...*pn^(an*B);
A^B的所有约数之和sum=[1+p1+p1^2+...+p1^(a1*B)]*[1+p2+p2^2+...+p2^(a2*B)]*[1+pn+pn^2+...+pn^(an*B)]

知道这个，问题就变成求出A的所有质因数pi以及个数n，然后$\prod(1+p_i+p_i^2+\cdots+p_i^{n-1}+p_i^n)$就行了。可以构造矩阵来求：

记$S_n=p_i+p_i^2+\cdots+p_i^{n-1}+p_i^n$

$$ \begin{bmatrix} p_i & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} S_n \\ p_i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} S_{n+1} \\ p_i \end{bmatrix} $$

 

$$ \begin{bmatrix} S_n \\ p_i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_i & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ^n \times \begin{bmatrix} S_0 \\ p_i \end{bmatrix} $$

 

A忘了$\pmod {9901}$，爆intWA到头疼= =

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 using namespace std;
 4 struct Mat{
 5     int m[2][2];
 6 };
 7 Mat operator*(const Mat &m1,const Mat &m2){
 8     Mat m={0};
 9     for(int i=0; i<2; ++i){
10         for(int j=0; j<2; ++j){
11             for(int k=0; k<2; ++k){
12                 m.m[i][j]+=m1.m[i][k]*m2.m[k][j];
13                 m.m[i][j]%=9901;
14             }
15         }
16     }
17     return m;
18 }
19 int calu(int a,int n){
20     a%=9901;
21     Mat e={1,0,0,1},x={a,1,0,1};
22     while(n){
23         if(n&1) e=e*x;
24         x=x*x;
25         n>>=1;
26     }
27     return (e.m[0][1]*a+1)%9901;
28 }
29 bool isPrime(int n){
30     if(n<2) return 0;
31     for(int i=2; i*i<=n; ++i){
32         if(n%i==0) return 0;
33     }
34     return 1;
35 }
36 int main(){
37     int a,b;
38     scanf("%d%d",&a,&b);
39     if(isPrime(a)){
40         printf("%d",calu(a,b));
41         return 0;
42     }
43     int res=1;
44     for(int i=2; i*i<=a; ++i){
45         if(a%i) continue;
46         if(isPrime(i)){
47             int cnt=0,tmp=a;
48             while(tmp%i==0){
49                 ++cnt;
50                 tmp/=i;
51             }
52             res*=calu(i,cnt*b);
53             res%=9901;
54         }
55         if(i!=a/i && isPrime(a/i)){
56             int cnt=0,tmp=a;
57             while(tmp%i==0){
58                 ++cnt;
59                 tmp/=i;
60             }
61             res*=calu(a/i,cnt*b);
62             res%=9901;
63         }
64     }
65     printf("%d",res);
66     return 0;
67 }