数电基础 第二章

Posted 2022-12-26 lixuehan

数电基础 第二章

逻辑代数中三种基本运算：与、或、非

与：?条件同时具备，结果发生

?Y=A AND B = A&B=A·B=AB

A B	Y
0 0	0
0 1	0
1 0	0
1 1	1

或：条件之一具备，结果发生

Y= A OR B = A+B

A B	Y
0 0	0
0 1	1
1 0	1
1 1	1

非：条件不具备，结果发生

Y=A`=NOT A

A	Y
0	1
1	0

几种常用的复合逻辑运算

与非：

或非：

与或非：

异或：

A B	Y
0 0	0
0 1	1
1 0	1
1 1	0

同或：

A B	Y
0 0	1
0 1	0
1 0	0
1 1	1

逻辑代数基本公式

序号	公 式	序号	公 式
		10	1′ = 0; 0′= 1
1	0 A = 0	11	1 + A= 1
2	1 A = A	12	0 + A = A
3	A A = A	13	A + A = A
4	A A′= 0	14	A + A′ = 1
5	A B = B A	15	A +B = B + A
6	A (B C) = (A B) C	16	A + (B +C) = (A + B) + C
7	A (B +C) = A B + A C	17	A + B C = (A +B)(A +C)
8	(A B) ′ = A′ + B′	18	(A+ B) ′ = A′B′
9	(A ′) ′ = A

逻辑代数常用公式

序 号	公 式
21	A + A B = A
22	A +A ′B = A + B
23	A B + A B′ = A
24	A ( A + B) = A
25	A B + A′ C + B C = A B + A′ C A B＋ A′ C + B CD = A B + A′ C
26	A (AB) ′ = A B′ ; A′ (AB) ′ = A′

逻辑代数的基本定理

代入定理：在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成立。

例：

反演定理：

?

逻辑函数及其表示方法

逻辑函数：若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。输 入/输出之间是一种函数关系。

真值表：

输入变量 A B C····	输出 *Y**1* *Y**2* ····
遍历所有可能的输入变量的取值组合	输出对应的取值

逻辑式：将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式表示就得到逻辑式。

逻辑图：用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。

波形图：将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。

卡诺图

EDA中的描述方式

最小项

最小项：最小项指n个变量X1、X2、···、Xn的最小项是n个因子的乘积，每个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积中出现，且仅出现一次。

最小项的编号：

最小项的性质：

?在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1。

?全体最小项之和为1 。

?任何两个最小项之积为0 。

?两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。

卡诺图化简法

逻辑函数的卡诺图表示法

?实质：将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式表示出来

?以2^n个小方块分别代表 n 变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同），就得到表示n变量全部最小项的卡诺图。

二变量卡诺图

三变量的卡诺图

4变量的卡诺图

五变量的卡诺图

用卡诺图表示逻辑函数

1.将函数表示为最小项之和的形式 。

2.在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入1，其余地方添0。

例：

用卡诺图化简函数

?依据：具有相邻性的最小项可合并，消去不同因子。

?在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直观地反映出来。

合并最小项的原则

1.两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子

2.四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两对因子

3.八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子

化简步骤

1.用卡诺图表示逻辑函数

2.找出可合并的最小项

3.化简后的乘积项相加

卡诺图化简的原则

?化简后的乘积项应包含函数式的所有最小项，即覆盖图中所有的1。

?乘积项的数目最少，即圈成的矩形最少。

?每个乘积项因子最少，即圈成的矩形最大。

约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项

约束项：在逻辑函数中，对输入变量取值的限制，在这些取值下为1的最小项称为约束项

任意项：在输入变量某些取值下，函数值为1或为0不影响逻辑电路的功能，在这些取值下为1的最小项称 为任意项

逻辑函数中的无关项：约束项和任意项可以写入函数式，也可不包含在函数式中，因此统称为无关项

无关项在化简逻辑函数中的应用

?合理地利用无关项，可得更简单的化简结果。

?加入（或去掉）无关项，应使化简后的项数最少，每项因子最少，从卡诺图上直观地看，加入无关项的目的是为矩形圈最大，矩形组合数最少。