Acwing P284 金字塔 题解

Posted 2022-12-26 handsome-zyc

Analysis

一棵树的每颗子树都对应着这棵树 DFS 序的一个区间。本题的序列虽然不是 DFS 序列，但也有该性质。本题中，我们以区间长度作为阶段， F[ l , r ] 表示序列 s[ l ~ r ]中子树的个数。

如果我们从 l  到  r  在每一个点划分一个 k ，那么时间复杂度会很高。一个比较好的想法是，把子串s[ l ~ r ]分成两部分，每部分可由若干子树构成。为了计数重而不漏，我们只考虑子串的第一颗子树是由哪些序列构成的，即令子串s[ l+1 ~ k-1 ] 构成第一棵子树，s[ k~r ]构成剩余部分。

为什么这样不会重复呢？因为我们 k 不断向后移动，序列不断加长，也就是说第一颗子树规模在从小变大，当然不会重复；至于剩下部分构成的子树，同理，由于规模不断减小，不可能重复。

为什么还要加上一个F[ l + 1 , r - 1] 呢？因为我们虽然枚举了第一颗子树，但是却忽略了该树只有一颗子树的情况，所以需要再加上这种情况，即F[ l + 1 , r - 1 ]。

对于方案计数类的动态规划问题，通常一个状态的各个决策之间满足“加法原理”，而每个决策划分的几个子状态之间满足“乘法原理”。在设计状态转移方程的决策方式与划分方法时，一个状态的所有决策之间必须具有互斥性，才能保证不会出现重复问题。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<stack>
 6 #define int long long
 7 #define maxn 300+10
 8 #define mod 1000000000
 9 using namespace std;
10 inline int read() 
11 
12     int x=0;
13     bool f=1;
14     char c=getchar();
15     for(; !isdigit(c); c=getchar()) if(c==‘-‘) f=0;
16     for(; isdigit(c); c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+c-‘0‘;
17     if(f) return x;
18     return 0-x;
19 
20 inline void write(int x)
21 
22     if(x<0)putchar(‘-‘);x=-x;
23     if(x>9)write(x/10);
24     putchar(x%10+‘0‘);
25 
26 int len;
27 int dp[maxn][maxn];
28 char s[maxn];
29 inline int DP(int l,int r)
30 
31     if(l>r) return 0;
32     if(s[l]!=s[r]) return 0;
33     if(l==r) return 1;
34     if(dp[l][r]!=-1) return dp[l][r];
35     dp[l][r]=0;
36     for(int k=l+1;k<=r-1;k++)
37     
38         dp[l][r]=dp[l][r]+(DP(l+1,k)*DP(k+1,r))%mod;
39         dp[l][r]%=mod;
40     
41     return dp[l][r];
42 
43 signed main()
44 
45 //    freopen("pyramid.in","r",stdin);
46 //    freopen("pyramid.out","w",stdout);
47     memset(dp,-1,sizeof(dp));
48     scanf("%s",s+1);
49     len=strlen(s+1);
50     int ans=DP(1,len);
51     ans%=mod;
52     write(ans);
53     return 0;
54 

请各位大佬斧正（反正我不认识斧正是什么意思）