[ bzoj2820] YY的GCD

Posted 2022-12-25 al-ca

算是反演的板子题了吧……

然而我刚学反演所以还是写一写题解吧。

我们要求$\sum \limits _x=1^N \sum \limits _y=1^M \left [ gcd(x,y)\in prime \right ]$

枚举质数：$\sum \limits _g\in prime \sum \limits _x=1^\left \lfloor \fracNg \right \rfloor \sum \limits _y=1^\left \lfloor \fracMg \right \rfloor \left [ gcd(x,y)=1 \right ]$

反演得原式=$\sum \limits _g\in prime \sum \limits _x=1^\left \lfloor \fracNg \right \rfloor \sum \limits _y=1^\left \lfloor \fracMg \right \rfloor \sum \limits _t \mid gcd(x,y) u(t)$

将最后一个求和提前得原式=$\sum \limits _g\in prime \sum \limits _t=1^min\left ( \left \lfloor \fracNg \right \rfloor,\left \lfloor \fracMg \right \rfloor \right ) u(t) \sum \limits _x=1^\left \lfloor \fracNg*t \right \rfloor \sum \limits _y=1^\left \lfloor \fracMg*t \right \rfloor 1$

我自己推到这里就颓题解了

令T=g*t,得$\sum \limits _T=1^min(n,m) \left ( \left \lfloor \fracNT \right \rfloor \left \lfloor \fracMT \right \rfloor * \sum \limits _t\mid T,t\in prime u(\fracTt)\right )$

后面的部分可以用一个类似埃筛的东西预处理，前面的对于每次询问整除分块就行了。