luoguP3768简单的数学题

Posted 2022-12-22 66t6

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了luoguP3768简单的数学题相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

大佬们绕道吧（或跳到错误&启发后下一根横线后）

这道题吧正解是莫比乌斯反演吧，但本人有一种独创玄妙的想法去偏分

这道题是让我们求这个对吧

$(\sum_i=1^n\sum_j=1^n ijgcd(i,j))~mod~p$

先把$\sum_i=1^n\sum_j=1^n$内的$ij$去掉式子变成了$(\sum_i=1^n\sum_j=1^n gcd(i,j))~mod~p$

怎么算呢
$(\sum_i=1^n\sum_j=1^n gcd(i,j))~mod~p$
如果$n$小我们本来就可以模拟来算，但这道题的简化版$n$都$10^6$级别的肯定没办法,

考虑我们老师提出的一种思路，既然一个一个i（一对一对$ij$）来算没办法，那么如果我们规定答案又如何

这样我们就可以去找个数累乘即可

但怎么在这样浩如烟海的数据找出一对$gcd(i,j)=x$呢

既然这样，再简化问题，我们能否将双向的求$gcd$改为单向的呢，即只计算比i大的每个j$(\sum_i=1^n\sum_j=1^n gcd(i,j))~mod~p$

这样问题变为了$(\sum_i=1^n-1\sum_j=i^n gcd(i,j))~mod~p$

又即$(\sum_i=2^n\sum_j=1^i gcd(i,j))~mod~p$

而怎么变回刚才的式子呢，很简单

技术图片

考虑这样全体点即数字的双向运算，共分为三类，即左向右，右向左和自己对自己

所以上式=$2\cdot\sum_i=2^n\sum_j=1^i gcd(i,j))~mod~p+n\cdot(n+1)/2$

到此，我们可以正式来思考这个问题了

如果i与某一个小于数的$gcd$不为1，则这个数一定是i的因数

考虑x与i的$gcd$为它的第k个因数$p_k$，则只要$gcd(x/p_k,i)=1$即可，这时x的个数就是与i互质的数个数，即$φ(i)$

但我们必须要求出这每个$i$与它如上文所求出的$F_i$吗

不，对于每一个i我们的确需要求出其每一个因数对$F_i$造成的影响

但对于上式$Ans$=$\sum_k=1^iF_i$中一个数x就不只对结果造成一次影响了，而是$x\cdot1,x\cdot2,x\cdot3,...x\cdot(i/x)$了

因此模仿着筛法我们写下这样的代码

$\sum_i=1^n/2\sum_j=2^n/i i\cdotφ(j))~mod~p$

好吧

你现在已经可以做出$ P2398 GCDSUM$和$P1390$了

但别急，我们还是没有做出最初的话题

先来一波相似的变形

$\sum ^n_i=1\sum ^n_j=1ij\gcd \left( i,j\right)$

$=2\sum ^n/2_i=1\sum ^n/i_j=2ij\gcd \left( i,j\right)+\sum _i=1^ni^3$

于是后面那一坨又变成了$(\sum _i=1^ni^2)^2$

即$n^2\cdot(n+1)^2$

考虑

$\sum ^n/2_i=1\sum ^n/i_j=2ij\gcd(i,j)$……（1）

与$\sum ^n/2_i=1\sum ^n/i_j=2\gcd(i,j)$……（2）

每个$gcd$我们求出来了，那么乘上了$i\cdot j$应该也好算吧

既然在原式$\sum_i=1^n/2\sum_j=2^n/i i\cdotφ(j))~mod~p$中

i表示的是$gcd$的值，直接乘上去即可

j表示的是$gcd$的个数，我们也可以换个角度理解为是每次有$gcd(n,x)=p_i$时权值为1

因此要求的是因此要求的是与j互质的数的个数

而现在的（2）式中不过权值被改成了$x$罢了

我们只需要求出对于（1）式中的每一个j互质的数的和

仔细想想（1）（2）是相通的吧

而这个数怎么求呢

考虑如果x($<n$)与n互质，则n-x也与n互质

因此与n互质的数总是成对出现且对数为$φ(n)/2$

（是这样的吗）

严谨来说这并不对

还需要考虑n为偶数情况

但这样答案是一样的啊

所以我们肯定的说与n互质的数之和为$n\cdot φ(n)/2$

我们得到了一个仿佛正确的式子

$\sum_i=1^n/2\sum_j=2^n/i i^2\cdot j^2\cdot φ^2(j)/2~mod~p$

正好与前面单双向抵消掉了一个$1/2$多么美妙啊

你觉得自己看完这些个就该走了吗亦或一个$copy$漂亮$AC?$

好吧如果你还坚持看到了这里那么你肯定知道那是错的

有没有很伤心

** 其实我比你还伤心 **

但在继续之前有必要说明一下原因呢

其实感觉起来每一步都没错，但其实这样一个代还的过程就错了

在原式中的$ij$仅仅是两个没有关系的变量，他们中的每一个都有可能成为后文中所写的x

而在我们的变形中i表示的是结果，和他对应的上文中的$(i0,j0)$太多了，而j则是表示的这样存在的x的个数，我们把（1）（2）式的区别归结到权值是没错，但$i,j$的值是被分别累乘到很多对对的包含它们的数对$gcd$上，而我们这么做，是把i，j乘到了满足gcd为x，其中它们成立的这样很多组之中，就大错特错了

刚才的那一段

考虑用另外一种方式表示所求