安徽集训空洞

Posted 2022-12-17 scx2015noip-as-php

Description

　　你有一个空心的 \\(n\\) 维超矩形，第 \\(i\\) 维坐标在 \\([0,r_i]\\) 内。现在你把矩形内所有满足 \\(\\sum\\limits_i=1^n x_i\\le S\\) 的位置全部填满了液体，求液体的体积对 \\(998244353\\) 取模（如果是个分数就求逆元）。
　　subtask3：对于\\(1\\le i\\le n\\) 有 \\(r_i=S\\)
　　subtask4：\\(1\\le n,r_i\\le 500,\\space S\\le 10^9\\)

Solution

　　先手玩 subtask3 的特殊情况（不用考虑坐标范围限制）
　　二维情况下，答案就是红色区域面积，显然是 \\(\\frac12\\)
　　
　　三维情况下，答案就是绿色线条与前右下角三条邻边围成的空间体积，根据小学知识可知是 \\(\\frac16\\)（可以用微积分证明）
　　
　　所以可以猜测答案就是 \\(\\fracS^nn!\\)。
　　那对于所有 \\(r_i\\le S\\) 的情况，答案会不会就是 \\(\\frac\\prod_i=1^n r_in!\\)？确实是的，可以用微积分证明……

　　然后考虑朴素情况。
　　像这种多重限制的问题，一般不容易直接求解，我们尝试求坐标不在范围内的情况数，然后从总方案数中减掉。
　　举个例子，\\(n=2,\\space r_1=1,\\space r_2=4,\\space S=2\\)
　　我们钦定第 \\(1\\) 维坐标不满足条件，即 \\(x_1\\gt 1\\)
　　我们发现一组方程 \\[\\begincases x_1+x_2\\le 2 \\\\ x_1\\gt 1 \\endcases\\] 可以上下同时 \\(-1\\) 得到 \\[\\begincases x_1+x_2\\le 1 \\\\ x_1\\gt 0 \\endcases\\]
　　我们本来就有 \\(x_i\\ge 0\\)，而在实数内随机意义下，随机到一个确定实数的概率可以认为是 \\(0\\)，故等价于我们本来就有 \\(x_i\\gt 0\\)，即下面那个式子可以扔了。
　　然后问题又变成了求解上面那个式子，由于没有了坐标范围限制，直接用上一个 subtask 的结论解就行了……

　　容斥出的答案就是 $ans = \\sum\\limits_S (-1)^|S| (S-