动态规划

Posted 2022-12-15 tuilinengshou

一、DAG上的动态规划

两个问题：嵌套矩形和硬币问题

1、最长路及其字典序

如何求DAG中不固定起点的最长路经呢？设d(i)表示从节点i出发的最长路长度，那么状态转移方程就是：

d(I) = max d(j) +1 | (i,j)€ E

其中，E是边集。最终答案就是所有d(i)的最大值。编写记忆化搜索程序。

1 int dp(int i)
2 
3     int& ans=d[i];
4     if(ans>0) return ans;
5     ans=1;
6     for(int j=1;j<=n;j++)
7         if(G[i][j]) ans >?= dp(j)+1;
8     return ans;
9 

字典序只是消除并列名次的方法，长度才是首要要素。选择其中最大的d[i]对应的i，若有多个i，则选择最小的i，保证字典序最小。接下来可以选择d(i)=d(j)+1的人一个j，但保证字典序最小，应选择最小的j。

void print_ans(int i)

    printf("%d ",i);
    for(int j=1;j<=n;j++) if(G[i][j] && d[i]=d[j]+1)
    
        print_ans(j);
        break;
    

当然如果要打印所有方案，只删除break语句是不够的，正确方法是记录路径上的所有点，在递归结束时才一次性输出整条路径。

void print_allans(int i,int sum)

    path[k++]=i;
    if(sum==0) 
    
        for(int c=0;c<k;c++) printf("%d ",path[c]);
        memset(path,0,sizeof(path));
        k=0;
        return ;
     
    for(int j=1;j<=n;j++) if(G[i][j] && d[i]==d[j]+1)
    
        print_allans(j,d[j]);
    
    

2、固定终点的最长路和最短路

 考虑硬币问题，终点固定，d(i)的确切含义是从节点i出发到节点0的最长路经长度。

int dp(int S)

    int& ans=d[S];
    if(ans>=0) return ans;
    ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) if(S>=v[i]) ans>?=dp(S-v[i])+1;
    return ans;

 

由于路径长度可以为0，且S也可为0，所以不能用d=0表示这个d值没有算过，初始化时也不能把d全设为0，而是设置一个负值，如memset(d,-1,sizeof(d))。

但是由于节点S不一定能到达节点0，所以要用特殊的d[S]表示无法到达，故此用一个极小数-2^30表示不能到达，可以跟所有d的初值分开-----只需把if(ans>=0)改成if(ans！=-1）即可。

int dp(int S)

    int& ans=d[S];
    if(ans!=-1) return ans;
    ans=-1<<30;
    for(int i=1;i<=n;i++) if(S>=v[i]) ans>?=dp(S-v[i])+1;
    return ans;

题目要求最小最大两个值，记忆化搜索必须写两个，用递推来写。

min[0]=max[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)

    min[i]=INF;max[i]=-INF;

for(int i=1;i<=S;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
        if(i>=v[j])
        
            min[i] <?=min[i-v[j]]+1;
            max[i] >?=max[i-v[j]]+1;
        
printf("%d %d\n",min[S],max[S]);

如何输出字典序最小的方案呢。

void print_ans(int* d,int S)

    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(S>=v[i] && d[S]=d[S-v[i]]+1)
        
            printf("%d ",i);
            print_ans(d,S-v[i]);
            break;
        

然后分别调用print_ans(min,S)和print_ans(max,S)

当然也可以直接在递推的时候就将路径保存下来，打印时可以省略print_ans的循环，可以写成迭代形式。

for(int i=1;i<=S;i++)    
    for(int j=1;j<=n;j++)
        if(i>=v[j])
        
            if(min[i]>min[i-v[j]]+1)
            
                min[i]=min[i-v[j]]+1;
                min_coin[i]=j;
            
            if(max[i]<max[i-v[j]]+1)
            
                max[i]=max[i-v[j]]+1;
                max_coin[i]=j;
                
            

void print_ans(int* d,int S)

    while(S)
    
        printf("%d ",d[S]);
        S-=v[d[S]];