计算几何--二维几何常用算法

Posted 2022-12-03 125418a

内容参考书籍——《算法竞赛入门经典训练指南》　　

　　在程序中，用顶点数组表示多边形，其中各个顶点按照逆时针顺序排列。

　　判断点是否在多边形内。采用转角法，基本思想是计算多边形相对于判定点转了多少度，具体来说，将多边形每条边的转角加起来，如果是360°，说明在多边形内；如果是0°，说明在多边形如果是180°则在多边形边界上。该方法在处理一些弧形多边形时丝毫不受影响，只需要每一段的终点到起点的转角累加起来即可。另外这个三角形甚至可以不是简单多边形（即可以自交）。

　　然而，直接计算会使用大量的反三角函数，不仅速度慢且容易产生精度误差。在算法竞赛中，我们并不会这样做，而是假想有一条向右的射线，统计多边形穿过这条射线正反多少次，把这个数记为绕数wn(Winding Number)，逆时针穿过时，wn加1，顺时针穿过时，wn减1。

　　注意程序实现时，判断是否穿过，以及穿过方向时，需要用叉积判断输入点在边的左边还是右边。

　　点在凸多边形内的判定更简单，只需要判断是否在所有边的左边(假设各顶点按照逆时针顺序排序)即可

　　凸包。

　　凸包就是把定点包围在内部的、面积最小的凸多边形。基于水平序的Andrew算法(比原始的Graham更快且更稳定)。首先把所有点按x从小到大排序(如果x相同，按照y从小到大排序)，删除重复点后得到序列p1,p2,...,然后把p1和p2放到凸包中。从p3开始，当新点在凸包“前进”方向的左边时继续，否则依次删除最近加入凸包的点，直到新点在左边。

（待补充说明）

 

代码如下：

 1 //判断该点与多边形关系
 2 int isPointInPolygon(Point p, Polygon poly)
 3 
 4     int wn = 0;
 5     int n = v.size();
 6     for (int i = 0; i < n; ++i)
 7     
 8         if (isPointOnSegment(p,poly[i], poly[(i+1)%n])) return -1;
 9         int k = dcmp(Cross(poly[(i+1)%n]-poly[i]),p-poly[i]);
10         int d1 = dcmp(poly[i].y-p.y);
11         int d2 = dcmp(poly[(i+1)%n].y-p.y);
12         if (k>0 && d1<=0 && d2>0) wn++;
13         if (k<0 && d2<=0 && d1>0) wn--;        
14     
15     if (wn != 0)return 1;
16     return 0;
17 
18 //计算凸包，输入点数组p，个数为p，输出点数组ch。函数返回凸包顶点数。
19 //输入不能有重复点。函数执行完之后输入点的顺序被破坏。
20 //如果不希望在凸包的边上有输入点，把两个<=改成<
21 //在精度要求高时建议用dcmp比较
22 int ConvexHull(Point* p, int n, Point* ch)
23 
24     sort(p,p+n);
25     int m = 0;
26     for (int i = 0; i < n; ++i)
27     
28         while(m>1 && Cross(ch[m-1]-ch[m-2],p[i]-ch[m-2]) <= 0) m--;
29         ch[m++] = p[i];
30     
31     int k = m;
32     for (int i = n-2; i >= 0; --i)
33     
34         while(m >k && Cross(ch[m-1]-ch[m-2],p[i]-ch[m-2]) <= 0) m--;
35         ch[m++] = p[i];
36     
37     if (n > 1) m--;
38     return m;
39