算法学习：计算几何基础

Posted 2022-12-29 rentu

【定义】

 

【极角】极坐标系中的phi，对于直线来说可以直接看成斜率，因为斜率也可以表示为角度

 

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计算几何是运用计算机中的值和代码去模拟真实的几何运算过程，所以需要先创建相对应的元素，而最基本的元素就是点，而点能够表示二维空间内的位置

同在二维空间，点和向量的储存方式类似（但是实际意义大不相同）

struct V

    double x, y;
    double ang;
    double angle()
    //求取极角
        return atan2(y, x);
    
    V(double X = 0, double Y = 0)
    
        //初始化
        x = X, y = Y;
        ang = atan2(y, x);
    
    bool operator ==(const V &b)
    
        return cmp(x - b.x) && cmp(y - b.y);
    

;

通过重命名令点和向量在某些用法上有所重合

typedef V  P;

定义运算（点和向量的个别运算又有所重合）

V operator +(V a, V b)  return V(a.x + b.x, a.y + b.y); 
V operator -(V a, V b)  return V(a.x - b.x, a.y - b.y); 
V operator *(V a, double b)  return V(a.x *b, a.y*b); 
V operator /(V a, double b)  return V(a.x / b, a.y / b); 
//叉积
double cross(V a, V b)

    return a.x*b.y - a.y*b.x;

//点积
double dot(V a, V b)

    return a.x*b.x + a.y*b.y;

 

而根据高中几何知识，我们知道两个点能够表示一条线段

所以有线段的定义

struct L

    P s, t;
    double ang;
    L(P X = V(), P Y = V())
    
        s = X, t = Y, ang = (Y - X).angle();
    
;

其相应运算都能够通过各种求交点，平行，叉积，点积求取完成

（证明都比较简单）

//通过斜率比较线段大小
bool operator <(const L &a, const L &b)

    double r = a.ang - b.ang;
    if (cmp(r) != 0)    return cmp(r) == -1;
    //极角相同，默认偏下的更大
    return cmp(cross(a.t - a.s, b.t - a.s)) == -1;


//判断线段平行
bool is_parallel(L a, L b)

    return cmp(cross(a.t - a.s, b.t - b.s)) == 0;


//查找交点
P intersection(L a, L b)

    return a.s + (a.t - a.s)*(cross(b.t - b.s, a.s - b.s)) / cross(a.t - a.s, b.t - b.s);

 

而面的确定可以有多个点或者多个线段确定

 

【求多边形面积】

  叉积能够表示的是：两个线段围成的平行四边形面积

  然后通过逐个求取边和原点围成的多边形面积

  因为叉积有正有负，所以  

  通过这个原理就能够求得多边形面积

 

double area(P *p, int n)

    double res = 0;
    p[n + 1] = p[1];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        res += cross(p[i], p[i + 1]);
    return fabs(res / 2);

 

这些元素之间还有各种判断和操作

点是否在直线一侧

 

bool is_right(L a, P b)
//判断点b是否在直线的右边（和起点连成的向量方向和直线向量方向相反）

    return cmp(cross(a.t - a.s, b - a.s)) < 0;

 

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求点是否在多边形内

通过计算点两边的边的个数是否相等，如果相等则说明点在多边形内

同时，计算点是否在直线上，查找点在直线上的情况

点是否在多边形内

 

求两向量是否相交

两线段是否相交

 

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通过以上两个知识点：

能够求两个多边形是否相交

两多边形是否相交

 

 

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