算法设计与分析——线性时间选择

Posted 2022-10-28 wkfvawl

 

 

private static Comparable (int p,int r,int k)

    if(p==r)
    
        return a[p];
    
    int i = randomizedaparttition(p,r);
    int j = i-p+1; //a[p:i]中元素的个数
    if(k<=j)
    
        return randomizeSelect(p,i,k);
    
    else
    
        return randomizeSelect(i+1,r,k-j);
    

 

 

 

 

找出的基准x至少比3(n-5)/10个元素大，因为在每一组中有2个元素小于本组的中位数，中位数处于1/2*[n/5-1]=(n-5)/10，即n/5个中位数中又有(n-5)/10个小于基准x。
同理，基准x也至少比3(n-5)/10个元素小。而当n≥75时，3(n-5)/10≥n/4所以按此基准划分所得的2个子数组的长度都至少缩短1/4。
这个其实比较容易理解：
数组中共n个元素，5个元素一组，一共分成约m=n/5组。每组中间大小的那个数不妨称其为“次中位数”。
在m=n/5个“次中位数”中再取出中间值，这就是整个数组的“中位数”X。
很显然，约有一半的“次中位数”比X还要小【(n-5)/10<m/2】
在这些组中，每组起码要有3个元素（连“次中位数”也算上）比X小，
所以整个数组中起码要有3(n-5)/10个元素比X小。
当n≥75时3(n-5)/10≥n/4，也就是说起码有1/4的元素比X小。
同理，起码也有1/4的元素比X还要大。
这样就保证了这个中位数的选择比较合理，划分之后最长的数组也不会超过原来的3/4，总体划分比较均匀。
假设你们年级有10个班，每个班只有5个人。
某次考试中，你在你们班考了第三名(次中位数)。
将每个班的第三名放在一起比较，你在这十个人中排第5名(中位数)。
那不就是在说，整个年级中至少有15个人成绩比你还要低？

 

private static Comparable select(int p,int r,int k)

    if(r-p<5)
    
        bubbleSort(p,r);//用某个简单排序算法对数组a[p:r]排序
        return a[p+k-1];
    
    //将a[p+5*i]至a[p+5*i+4]的第3小元素与a[p+i]交换位置
    //找中位数的中位数，r-p-4即上面所说的n-5
    for(int i=0; i<=(r-p-4)/5; i++)
    
        int s=p+5*i;
        int t=s+4;
        for(int j=0;j<3;j++)
        
            bubble(s,t-j);
        
        MyMath.swap(a,p+i,s+2);
    
    Comparable x=select(p,p+(r-p-4)/5,(r-p+6)/10);
    int i=partition(p,r,x);
    int j=i-p+1;
    if(k<=j)
    
        return select(p,i,k);
    
    else
    
        return select(i+1,r,k-j);