UVA11427 Expect the Expected 概率dp+全概率公式

Posted 2022-09-27 mountaink

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题意：小明每晚都玩游戏，每一盘赢的概率都是ｐ，如果第一盘就赢了，那么就去睡觉；否则继续玩，玩到赢的比例大于ｐ才去睡；如果一直玩了ｎ盘还没完成，就第二天再玩，并且游戏记录清空；问他玩游戏天数的期望；

思路：由于每次玩游戏，每天玩游戏都是独立重复试验，所以可以考虑一天玩游戏，玩不到p的概率（p都玩不到？）。

　　设$dp[i][j]$表示玩了i次游戏，获胜j次，并且过程中期望都不会超过p的概率。

　　则显然有：$dp[i][j]=dp[i-1][j]*(1-p)+dp[i-1][j-1]*p$。

　　 需要注意的是，我们必须保证过程中游戏分数的期望不会超过p，所以每一个状态都必须是$\fracji<p$，而且由于是T组样例，记得每次都要清空dp数组，否则上一次的答案可能会影响当前这次（上一次不合法的状态到了这一次变成合法状态了，被统计入了答案）。

　　然后求出总的失败概率，设概率为q，期望天数为e。

　　由全概率公式可得$e=q*1+(1-q)*(e+1)$

　　移项得$e=/frac1q$

#pragma GCC optimize (2)
#pragma G++ optimize (2)
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#include<bits/stdc++.h>
#include<unordered_map>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define dep(i,b,a) for(int i=b;i>=a;--i)
#define clr(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define pb push_back
#define pii pair<int,int >
using namespace std;
typedef long long ll;
ll rd()

    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘)if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();
    return x*f;

const int maxn=110;
double dp[maxn][maxn];
int x,y,n;
int main()
    int T,cat=1;
    cin>>T;
    while(T--)
        scanf("%d/%d%d",&x,&y,&n);
        double p=(double)x/y;
        clr(dp,0);
        dp[0][0]=1;
        rep(i,1,n)
            for(int j=0;j*y<=i*x;j++)
                dp[i][j]=dp[i-1][j]*(1-p);
                if(j)dp[i][j]+=dp[i-1][j-1]*p;
            
        
        double res=0;
        for(int i=0;i*y<=n*x;i++)
                res+=dp[(int)n][i];
        
        printf("Case #%d: %d\n",cat++,(int)(1/res));