2019ICPC南京网络赛B super_log——扩展欧拉定理
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了2019ICPC南京网络赛B super_log——扩展欧拉定理相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
题目
设函数
$$log_a*(x) = \\begincases
-1, & \\text if x < 1 \\\\
1+log_a*(log_ax) & \\text if x \\geq 1
\\endcases$$
求最小的正整数 $x$,使得 $log_a*(x) \\geq b$
分析
通过将递归式展开,展开 $b$ 次等于1,所以 $x$ 为 $a^a^a^...$(共 $b$ 次)
由欧拉降幂公式
$$a^b= \\begincases a^b \\% \\varphi(p) & gcd(a,p)=1 \\\\ a^b & gcd(a,p)\\neq 1,b < \\varphi (p) \\\\ a^b\\% \\varphi (p) + \\varphi (p) & gcd(a,p)\\neq 1,b \\geq \\varphi (p) \\endcases$$
用这个公式,需要讨论 $b$ 与 $\\varphi(p)$ 的大小关系,很麻烦。
看网上的博客,有一种精妙的方法,只需重写 Mod 函数,就能当作 $a$ 与 $p$ 互素处理。证明见 博客。
要点:
- 快速幂和cal函数都要换成Mod;
- 最终答案需要模p
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; ll a, b, p; ll Mod(ll x, ll mod) return x < mod ? x : x % mod + mod; ll euler_phi(ll n) ll m = (ll)sqrt(n + 0.5); ll ans = n; for (ll i = 2; i <= m; i++) if (n % i == 0) ans = ans / i * (i - 1); while (n % i == 0) n /= i; //除尽 if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1); //剩下的不为1,也是素数 return ans; ll qpow(ll a, ll b, ll p) ll ret = 1; while(b) if(b&1) ret = Mod(ret * a, p); a = Mod(a * a ,p); b >>= 1; return ret; ll cal(ll a, ll b, ll p) //a^a^a..^a共b次 // printf("%lld %lld\\n", t, p); //if(t == 1) return Mod(a, p); if(b == 0) return Mod(1, p); if(p == 1) return Mod(a, p); ll phip = euler_phi(p); return qpow(a, cal(a, b-1, phip), p); //第一类和第三类 int main() int T; scanf("%d", &T); while(T--) scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &p); printf("%lld\\n", cal(a, b, p) % p); //这个取模不能少 return 0;
之前写了一种需要讨论 $b$ 与 $\\varphi(p)$ 大小的,
因为模数 $p \\leq 1e6$,可以找找 $b$ 小于 $\\varphi(p)$ 的情况
打表发现,
1 2 4 16 65536 1 3 27 97484987 739387 1 4 256 6084096 61392896 1 5 3125 8203125 8203125 1 6 46656 63878656 38438656 1 7 823543 70132343 33172343 1 8 16777216 21126656 19449856 1 9 87420489 27177289 45865289
当次数大于3时,只有 $a=2$ 可能小于 $\\varphi(p)$,特判一下就好了。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; ll a, b, p; int table[10] = 1, 2, 4, 16,65536; ll qpow(ll a, ll b, ll p) a = a%p; ll ret = 1%p; while(b) if(b&1) ret = ret*a%p; a = a*a%p; b >>= 1; return ret%p; ll euler_phi(ll n) ll m = (ll)sqrt(n + 0.5); ll ans = n; for (ll i = 2; i <= m; i++) if (n % i == 0) ans = ans / i * (i - 1); while (n % i == 0) n /= i; //除尽 if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1); //剩下的不为1,也是素数 return ans; ll f(ll p, ll t) //printf("%lld %lld\\n", p, t); if(t == 1) return a%p; if(t == 2) return qpow(a, a, p); if(t == 0) return 1%p; if(p == 1) return 0; ll phip = euler_phi(p); if(p % a == 0) //t >= 3,若出现第二种情况,a只能为2 if(a == 2 && t <= 4 && table[t-1] < phip) //return qpow(a, f(p, t-1), p); return table[t]%p; return qpow(a, f(phip, t-1)+phip, p); //第一类和第三类 int main() int T; scanf("%d", &T); while(T--) scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &p); printf("%lld\\n", f(p, b)); return 0;
参考链接:https://blog.csdn.net/qq_35914587/article/details/79883547
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