LUOGU 5296: [北京省选集训2019]生成树计数 Gauss+Matrix-tree

Posted 2022-09-15 g-hsm

title

LUOGU 5296

Description

给定一个 \\(n\\) 个点的带权无向完全图，求其所有生成树权值的 \\(k\\) 次方之和。
定义一个树的权值，为其所有边权值和。
由于答案可能很大，请输出答案对 \\(998244353\\) 取模的结果。

analysis

参考资料：hec0411。

大概是要先列出答案的式子：

设 \\(E\\) 为我们枚举的生成树的边集。
\\[ Ans=\\sum_E(\\sum_i\\in Ew_i)^k\\=\\sum_E \\prod_i\\in E \\binomka_iw_i^a_i[\\sum_i\\in Ea_i=k]\\=\\sum_E \\frac1k! \\prod_i\\in E \\frac1a_i! w_i^a_i[\\sum_i\\in Ea_i=k] \\]

基尔霍夫矩阵可以求出：
\\[ \\sum_E\\prod_i\\in Ew_i \\]

对于上面那个式子，我们发现每条边其实是个多项式：
\\[ w(x)=\\sum_i=0^k\\frac1i!w^i \\]

所以可以发现最终答案的多项式项数大概是 \\(n?k\\) 。

所以我们可以代入大于 \\(n*k+1\\) 个值进去，利用矩阵树定理计算出对应的值，然后大佬用了拉格朗日插值来算第 \\(k\\) 项的系数，我觉得这好像用高斯消元搞一下就好了。

时间复杂度大概是：\\(O(n^4k)\\) 。

code

#include<bits/stdc++.h>

typedef long long ll;
const int maxn=31,mod=998244353;
typedef ll lar1[maxn*maxn];
typedef ll lar2[maxn][maxn];

namespace IO

    char buf[1<<15],*fs,*ft;
    inline char getc()  return (ft==fs&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),ft==fs))?0:*fs++; 
    template<typename T>inline void read(T &x)
    
        x=0;
        T f=1, ch=getchar();
        while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
        if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
        while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
        x*=f;
    

    char Out[1<<24],*fe=Out;
    inline void flush()  fwrite(Out,1,fe-Out,stdout); fe=Out; 
    template<typename T>inline void write(T x,char str)
    
        if (!x) *fe++=48;
        if (x<0) *fe++='-', x=-x;
        T num=0, ch[20];
        while (x) ch[++num]=x%10+48, x/=10;
        while (num) *fe++=ch[num--];
        *fe++=str;
    


using IO::read;
using IO::write;

inline ll Quick_power(ll a,ll b)

    ll ans=1;
    while (b)
    
        if (b&1) ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    
    return ans;


inline ll Gauss(ll a[maxn][maxn],int n)

    ll ans=1;
    for (int k=2; k<=n; ++k)
    
        for (int i=k; i<=n; ++i)
            if (a[i][k])
            
                if (k^i) ans=ans*(mod-1)%mod, std::swap(a[k],a[i]);
                break;
            
        ans=ans*a[k][k]%mod;
        ll INV=Quick_power(a[k][k],mod-2);
        for (int i=k+1; i<=n; ++i)
        
            ll tmp=INV*a[i][k]%mod;
            for (int j=k; j<=n; ++j) a[i][j]=(a[i][j]-tmp*a[k][j]%mod+mod)%mod;
        
    
    return ans;


int m;
lar1 f,h,fac,inv;
inline void Add(int x)

    for (int i=m; i>=0; --i)
    
        h[i]=h[i]*(mod-x)%mod;
        if (i) (h[i]+=h[i-1])%=mod;
    


inline void Del(int x)

    for (int i=0; i<=m; ++i)
    
        if (i) h[i]=h[i]-h[i-1]+mod;
        h[i]=h[i]*Quick_power(mod-x,mod-2)%mod;
    


lar2 w,val,a;
ll g[maxn][maxn][maxn];
int main()

    int n,k;read(n);read(k);
    m=n*k+3;
    fac[0]=1;
    for (int i=1; i<=m; ++i) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    inv[m]=Quick_power(fac[m],mod-2);
    for (int i=m-1; i>=0; --i) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;

    for (int i=1; i<=n; ++i)
        for (int j=1; j<=n; ++j) read(w[i][j]);
    for (int i=1; i<=n; ++i)
        for (int j=i+1; j<=n; ++j)
            for (int t=0; t<=k; ++t) g[i][j][t]=Quick_power(w[i][j],t)*inv[t]%mod;

    for (int x=1; x<=m; ++x)
    
        for (int i=1; i<=n; ++i)
            for (int j=i+1; j<=n; ++j)
            
                val[i][j]=0;
                ll now=1;
                for (int t=0; t<=k; ++t) (val[i][j]+=g[i][j][t]*now)%=mod, now=now*x%mod;
            
        memset(a,0,sizeof(a));
        for (int i=1; i<=n; ++i)
            for (int j=i+1; j<=n; ++j)
            
                a[i][i]+=val[i][j], a[j][j]+=val[i][j];
                a[i][j]-=val[i][j], a[j][i]-=val[i][j];
            
        for (int i=1; i<=n; ++i)
            for (int j=1; j<=n; ++j) a[i][j]=(a[i][j]%mod+mod)%mod;
        f[x]=Gauss(a,n);
    

    h[0]=1;
    for (int i=1; i<=m; ++i) Add(i);
    ll ans=0;
    for (int i=1; i<=m; ++i)
    
        Del(i);
        ll now=1;
        for (int j=1; j<=m; ++j)
            if (i^j) now=now*(i-j)%mod;
        now=Quick_power(now%mod+mod,mod-2);
        ans=(ans+now*h[k]%mod*f[i])%mod;
        Add(i);
    
    write(ans*fac[k]%mod,'\\n');
    IO::flush();
    return 0;