2019 年百度之星·程序设计大赛 - 初赛三 1003

Posted 2022-08-26 heyuhhh

题意：
求\(\sum_i=1^n\sum_j=1^m \mu(lcm(i,j))\)。

思路：
首先\(lcm(i,j)=\fracijgcd(i,j)\)，不妨有\(lcm(i,j)\)无平方因子，那么就有\(gcd(\fracigcd(i,j),j)\)互质，所以\(\mu(lcm(i,j))=\mu(i)\mu(j)\mu(gcd(i,j))\)；如果\(lcm(i,j)\)有平方因子的话，不影响答案。
注意\(mu\)的值和质因子个数有关，所以我们可以直接将"除以"写成"乘"。
下面就是推式子时间：

\[ \beginaligned &\sum_i=1^n \sum_j=1^m \mu(lcm(i,j))\=&\sum_i=1^n \sum_j=1^m \mu(i) \mu(j) \mu(gcd(i,j))\=&\sum_d\sum_i\sum_j\mu(i)\mu(j)\mu(d)\ (gcd(i,j)=d)\=&\sum_d\sum_i=1^\lfloor\fracnd\rfloor\sum_j=1^\lfloor\fracmd\rfloor \mu(id)\mu(jd)\mu(d)\ (gcd(i,j)=1)\=&\sum_d\sum_i=1^\lfloor\fracnd\rfloor\sum_j=1^\lfloor\fracmd\rfloor \mu(id)\mu(jd)\mu(d)\sum_k|gcd(i,j)\mu(k)\=&\sum_d=1^min(n,m)\sum_k\mu(k)\sum_i=1^\lfloor\fracndk\rfloor\sum_j=1^\lfloor\fracmdk\rfloor\mu(ikd)\mu(jkd)\mu(d) \endaligned \]
令\(T=kd,T\leq min(n,m)\)，则上式为：
\[ \sum_T\sum_d|T\mu(\fracTd)\mu(d)\sum_i=1^\lfloor\fracnT\rfloor\sum_j=1^\lfloor\fracmT\rfloor\mu(iT)\mu(jT) \]
之后对于每个\(T\)，预处理\(\sum_d\mu(\fracTd)\mu(d)\)即可，时间复杂度\(O(nlogn)\)。
后部分可以直接暴力，总时间复杂度为\(O(Tnlogn)\)。

#include <bits/stdc++.h>
#define heyuhhh ok
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e6 + 5;
int T;
int mu[N], p[N];
ll sum[N];
bool chk[N];
void init() 
    mu[1] = 1;
    int cnt = 0, k = N - 1;
    for(int i = 2; i <= k; i++) 
        if(!chk[i]) p[++cnt] = i, mu[i] = -1;
        for(int j = 1; j <= cnt && i * p[j] <= k; j++) 
            chk[i * p[j]] = 1;
            if(i % p[j] == 0) mu[i * p[j]] = 0; break;
            mu[i * p[j]] = -mu[i];
        
    
    for(int i = 1; i <= k; i++) 
        for(int j = i; j <= k; j += i) 
            sum[j] += mu[i] * mu[j / i];
        
    

int n, m;
int main() 
#ifdef heyuhhh
    freopen("input.in", "r", stdin);
#else
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);
#endif
    init();
    cin >> T;
    while(T--) 
        cin >> n >> m;
        ll ans = 0;
        for(int t = 1; t <= min(n, m); ++t) 
            ll s1 = 0, s2 = 0;
            for(int i = 1; i <= m / t; ++i) s1 += mu[i * t];
            for(int i = 1; i <= n / t; ++i) s2 += mu[i * t];
            ans += sum[t] * s1 * s2;
        
        cout << ans << '\n';
    
    return 0;