快速幂

Posted 2022-08-07 hoyoak

在OI中，我们有时需要快速算出a^b,那么怎么算呢，循环乘吗，显然，当a和b都很大时，这种算法十分的

耗时，因此我么引入一个简单的数学知识——快速幂。

 

---

 

让我们先引入一个问题：

给定a,b,k,要求快速求出a^b%的值。

快速幂就是适用于这种问题的一个方法，其主要运用了分治的思想，试想a^b难求，那么我们为什么不先

算出a^b/2呢，显然，a^b=a^b/2*a^b/2,这样我们是不是就节省了一半的时间复杂度呢，这么一直分治下去，

如果分到b=1了，那么就返回a即可。同时运用随时取模性质，我们在每次计算a^b/2*a^b/2时，都取一下膜，

防止溢出，但还存在一个问题，就如果幂是奇数该怎么办QWQ？一样啊，奇数次幂与偶数次幂的差别就

少乘或多乘一个a而已，因为C++中整形运算向下取整，所以对于奇数次幂的运算，我们就计算a^b/2*a^b/2*a

即可。

 1 inline long long quickpow(long long a,long long b,long long k)
 2 
 3     if(k==0) return 1;
 4     if(k==1) return a;
 5     if(k%2==0)
 6     
 7         long long t=quickpow(a,b/2,k);
 8         return t*t%k;
 9      
10     if(k%2!=0)
11     
12         long long t=quickpow(a,b/2,k);
13         return t*t%k*a%k;
14     
15