算法1：动态规划

Posted 2022-07-11 neverland0718

动态规划是很重要的算法。

       动态规划的基本思想是：将求解的问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后再从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法的区别是，适合用动态规划解决的问题，经分解得到的子问题往往不是相互独立的。动态规划将问题分解成子问题，但是子问题不相互独立，而是彼此依赖，相互提供帮助，很好的利用了子问题的结构信息。

动态规划的步骤是：

1.找出最优解的特征，并刻画其结构特征；

2.递归地定义最优值；

3.以自底向上的方式计算出最优值；

4.根据计算最优值的时得到的信息，构造最优解。

动态规划算法的有效性依赖于两个最重要的性质：最优子结构性质和重叠子问题性质。

下面举一个栗子，矩阵连乘问题。

 1 //动态规划——矩阵连乘问题
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstring> 
 4 
 5 using namespace std;
 6 int p[7]=30,35,15,5,10,20,25;//6个矩阵
 7 int m[6][6];//存放计算量的矩阵
 8 int s[6][6];//存放分割点的矩阵
 9 
10 void matrixChain()//第三步：计算最优值（前面两步没法再代码中体现，是构思的过程）
11                   //生成断点矩阵的函数，计算出最优值,返回s矩阵
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13     int length=6;
14     memset(m,0,sizeof(m));
15     memset(s,0,sizeof(s));
16     for(int r=2;r<=length;r++)//r表示的是计算的范围，开始只计算两个矩阵的计算量，然后依次计算3个，4个一直到目标的6个
17                               //这是动态规划自底向上的体现，从最小的单位开始计算
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19         for(int i=1;i<=length-r+1;i++)//i，j分别表示当前所计算的范围
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21             int j=i+r-1;
22             m[i][j]=m[i][i]+m[i+1][j]+p[i]*p[i-1]*p[j];//因为后面要求最优值，所以这里其实是随便求一个值
23             s[i][j]=i;
24             for(int k=i+1;k<j;k++)//范围内优化，找到最小的值
25             
26                 int temp=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
27                 if(temp<m[i][j])
28                 
29                     m[i][j]=temp;
30                     s[i][j]=k;
31                 
32             
33         
34     
35 
36 void TraceBack(int i,int j)//第4步：构造最优解。输入s矩阵和想要求解的范围，输出最佳的括号方案
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38     if(i==j)
39     
40         cout<<"M"<<"["<<i<<"]";
41         return;
42     
43     cout<<"(";
44     TraceBack(i,s[i][j]);
45     TraceBack(s[i][j]+1,j);
46     cout<<")";
47 
48 int main()
49 
50     matrixChain();
51     TraceBack(1,6);
52     cout<<m[1][6]<<endl;
53     return 0;
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