MT342条件为非负实数

Posted 2022-07-02 mathstudy

已知$x,y,z$为非负实数,满足$(x+\\dfrac12)^2+(y+1)^2+(z+\\dfrac32)^2=\\dfrac274$,
则$x+y+z$的最小值为______

分析:由题意$x^2+y^2+z^2+x+2y+3z=\\dfrac134$
故$\\dfrac134\\le (x+y+z)^2+3(x+y+z)$得$x+y+z\\ge\\dfrac\\sqrt22-32$
当$x=0,y=0,z=\\dfrac\\sqrt22-32$时等号取到
注:最大值用柯西易得.

练习：已知非负实数$a,b,c$满足$a+b+c=1$求$a^3+2b^2+\\dfrac103c$的最大值和最小值.

 

提示:$a^3+2b^2+\\dfrac103c\\le \\dfrac103(a+b+c)=\\dfrac103$
当$(a,b,c)=(0,0,1)$时取到最大值$\\dfrac103$
最小值提示:$a^3+2b^2+\\dfrac103c\\ge\\dfrac43(a+b+c)+2c-\\dfrac2227\\ge\\dfrac1427$
当$(a,b,c)=(\\dfrac23,\\dfrac13,0)$时取到.